Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
с точностью до множителя это — нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией а/\Ь\.
При b ^ 0 конечных инвариантных мер нет.
3*. При фиксированных s, х, t переходная функция р (s, х, f, •)—нормальное распределение со средним х(1—t)'-:(1 —s) и дисперсией (1 — t)(t— s)/(l —s); b(s,x) = —x/(\—s), a(s, x)= 1; с процессом связан дифференциальный оператор
д . 1 д2 хд
— (- -^г -т~2---;--------^—• Уравнения для переходной плотности
0S ? 0Х i " S Ул
p(s, X, t, у):
др , 1 д2р _ х др _ ds 2 дх2 1 — s дх
д?_ =}_ д2р д Г ур \
dt 2 ду2 ду \ I — t )'
Результаты § 11.2 не применимы непосредственно, потому что процесс не определен при t > 1 (с этим легко справиться) и потому что коэффициент сноса имеет особенность при s = 1. Однако достаточно легко проверить, что уравнения все же выполнены (возможный путь: заменой переменных превратить полуинтервал [0, 1) в [0, оо)).
Контрольный вопрос: какому уравнению удовлетворяет функция
u(s, x) = M{f(Z(l/2))[Z(s) = x}
при 5 ^ 1/2?
§ 12.1
1. Пусть 0 ^ t\ < t2 < ... < tn; функция W принимает на каждом из полуинтервалов (0, tJ, (tv <2], ..., {t у ^п] постоянное (случайное) значение, а при t > tn тождественно равна
оо П — 1
нулю. Имеем (считая t0 = 0): ^ %<х (t) dwf = ^ %^х>/.}Х
о i=o
+ J — wti)- Когда т принимает значение стохастический интеграл оказывается равным (wt —wt ^ —wt ^ + ...
... +(wtj-wti_i) = wt{-wto=wx.
2. Пример: х — первый момент достижения точки 1; \Awx = = 1, Mwx = 1.
3. Если Мт < оо, то
Мт = Мви^ = МЬ2 (А + т) = Ь2А + Ь2Мт.
При Ь < 1 получаем Мт = b2A/( 1 — Ь2), при b ^ 1 — противоречие. 4*. Сначала доказать, что М (т Д N) ^ b2Aj( \ — b2).
5. Повторяется с очевидными изменениями решение зада-
чи 5 § 2.2.
380
§ 12.2
1. Требуется проверить, что
М [тц.?*. | Гг] = 1\Лг + м \ f (s. «о) g (S. «О) ds | т
[[
]
Имеем:
М [ V?,* | Г,,] = М [т,(,?(, + (Лг - V) +
+ v (С*- - Ч + (Л*- - v) (?<' - Zt') I *V] =
= vS*, + 5«'М [т,г - v | <Г(,] + Т)^М [?(„ - | <Г>] +
+ M[(T,r-v)(5r-S«')l’^'];
далее пользуемся тем, что
м [nt„ - v I grt,] = м [Er - ?t, I г,,] = о.
2. Без ограничения общности мы можем считать, что t' = tir, t" = t,*. Проверяем (4): рассматриваем
М
[ .? [i (“) (®*,+1 - »<,) Е, е, (®) (ш,/+] - .) [ г(j.
Представляем это условное среднее в виде суммы по i, / условных средних отдельных слагаемых. Слагаемые с i < j представляем в виде условного среднего от условного среднего относительно ст-алгебры 5*"^ , и они обращаются в нуль; точно так же
слагаемые с i > /. Слагаемые с t = / дают
М
t"
^ f (s, ш) g (s, ш) ds I ^vj.
§ 12.3
1. Для стохастических интегралов используем неравенство Колмогорова:
Р < max
I0<s<<
S 5 ч
^ (и, ш) dwu — ^ f (и, ш) dwu е/2 I <:
оо )
t
< М jj | f(n) (и, ш) - } (и, а) |2 d«/(6/2)2 -> 0;
381
для лебеговских: Р
J max ^ g^n) (и, a) du — ^ g (и, to) du > е/2 I <
(.0<s< 0 0 )
< Р | ^ I gw (и, a)—g (и, a»\du> е/г| -> 0.
t t
2. ^ Gm (и) dam (и) — ^ G (и) du <
S S
t t t
< ^ I Gm (u) — G (и) I dam (u) + ^ G (u) dam (u) — ^ G (u) du .
Первый интеграл не превосходит sup | Gm (и) — G (и) | [am (t) —
U
¦— ат (s)] -> 0 при т -*¦ оо; разность интегралов по ат и по и стремится к нулю, потому что функция G непрерывна, а из равномерной сходимости функций распределения вытекает слабая сходимость.
3. Применить формулу Ито
(S) dWs
fdws-
f Г
к exp ^ \
S f- Где Ttf=min j {<T: 5
0 J Vo
0 '
§ 12.4
1. Предсказуемость стохастического интеграла как функции верхнего предела — см. § 2; обычного — задача 3 § 6.2. Оценка
М I I2:
м |б<"> |2<
<ЗМ I т) 12+ зм
t 2 t $сг(б‘Г"1,)<К +ЗМ
<
t
<ЗМ1л12 + 3(г2 + г^-5))К25 [i+m l^-1')2]^
s
(аналогичные оценки проведены подробно при доказательстве теоремы 1).
382
2. По неравенству Коши — Буняковского
м I I2 = м I г, + - 1Г) + (l<2> - |<») + ...
• • • + (l("+1) - if') + . - - I2 < м [I г, I2 + 2 j $> - If) |2 + + ... +2't+1|l<',+1)-lf)|2+ ...] x
+ 4 1'/
(2) _ *0) |2
X [l + 1/2 + 1/4 + ... + l/2"+1 + -..] < 2M [1 + I n I2] x
