Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
7*. Вычисления аналогичны приведенным: f(X) = 2а3л-’/(а2+ + ^2)2;
0
f{(X) = л/2а3п~1 (а + 1Х)~2=-л/2а3л~1 ^ teateiu dt;
- ОО
g (X) = е as [ 1 + as + s ¦ ;Я];
§ 5.1
I. Пусть С = {*.: (xf.......xt ) e A) =
1 n
= {*.: (xf'.....xf, ) <= A'};
1 n'
требуется доказать, что
|i ( = , (A'). (*)
1 ' " П 1 n'
Прежде всего при данных t\, ..., tn множество А восстанавливается однозначно по С, а именно, А состоит из всех наборов значений (xt , ..., xt возможных для функции х. еС.
Рассмотрим сначала случай, когда t'n,— это пере-
ставленные в другом порядке tu ..., tn (а стало быть, п' = л). Множество А' в этом случае состоит из точек множества А с переставленными определенным образом координатами. Обе части равенства (*) — меры, и, чтобы доказать (*) для всех А е 38^0 ф достаточно проверить это равенство для порождаю-
357
щего Яу{] [j полукольца множеств А вида Ai X ... XАп, At е ^,0 Но для таких множеств (»)—не что иное, как первое из условий согласованности.
Далее рассмотрим случай, когда набор tn, включает
в себя <i, причем будем считать, что зануме-
рованы так, что первые п из этих элементов — это 11, ..., t„ (независимость от порядка нумерации мы уже проверили). Тогда легко видеть, что А' = А X [0, 1 ]” ”, и выполнение (*) для
всех А е ^ доказывается так же, как в предыдущем случае, с использованием второго условия согласованности.
Наконец, в общем случае рассматриваем множество = {/j, ..., /„}U {t[, ..., tn,}; имеет место представление С = |х,: х^„ ^ е А"у и мы видим, что обе
части (*) равны ц „ (А").
1 п"
2*. Условия существования процесса с независимыми приращениями с данными распределениями приращений и соответствующее доказательство можно найти в книге Ито (1960, § 6). Можно также воспользоваться результатами § 8.2 настоящей книги.
§ 5.2
1. Это можно доказать, пользуясь тем, что любая функция
без разрывов второго рода со значениями в метрическом пространстве имеет самое большее счетное число разрывов (а сходимость по вероятности задается метрикой). Другой способ доказательства: функция F (t) = М arctg ^ монотонна, а значит,
имеет не более счетного числа разрывов; в точках непрерывности F V) из ?<_<?(<?*+ и М [arctg arctg ?,_] = F (/+) —
— F (t—) = 0 получаем \ = (почти наверное).
2. M (Z (t) - Z (s)) 4 = 3 [M (Z(t)-Z (s))2]2 = 3 [* (t, t) + + К (s, s) — 2 К (t, s)]2 = 3[«-/2 + s-s2-2((As) + 2ts\2 = = 3 [ | t — s | — (t — s)2]2 < 3 (/ — s)2.
3*. Ответ: при 'fj < 1/2 и только при них.
4. Множество частичных пределов замкнуто; так что, если выполняется событие в левой части, существует интервал (а, Р) с рациональными концами, содержащий точку ?/(со) и такой, что ни один из частичных пределов не только не принадлежит этому интервалу, но и не совпадает с его концами. Отсюда вытекает, что для достаточно близких к t точек seT, будет ф. ф. (а, Р), т. е. выполняется событие в правой части. Обратно, если правая часть выполняется, то ни один из частичных пределов не лежит в (а, Р), a It как раз лежит в этом интервале, так что совпасть им никак невозможно.
§ 5.3
1. Сингулярность распределения относительно распределений wt, T^f проверяется при помощи функционала f(x,) = = х0: для ?. он с вероятностью 1 принимает значение 1, а для w. и т). — значение 0. Чтобы проверить сингулярность и
358
воспользуемся тем, что предел по вероятности (wt —
k=i ' k
— wt^ J2 при измельчении разбиения 0 =/0<^< <tn = l
равен 1 (см. § 1.2, п. 2); для т)< соответствующий предел равен, естественно, 4. Правда, этот предел по вероятности — еще не Ч- измеримый функционал; однако решение задачи дает, на-
2П
пример, такой функционал: g(x.) = lim J] (Xk/2n ~~ X{k-i)/2n)2-
2. Левая часть есть н' |дг.: (xt , ..., х( jSilj, а правая ^ h (х%) [х (dx,), так что «равенство, о котором
идет речь, эквивалентно
И-'(С)= ^ h(x9)v(dx.), (*)
с
где С — произвольное цилиндрическое множество.
Необходимость ясна; достаточность получается распространением равенства (*) с алгебры цилиндрических множеств на порожденную ею ст-алгебру 9ВТ.
4. Положим Се = (xt , ..., xt ^ е Л}, где А — то множество, о котором говорится в условии задачи. Имеем Се е SB ,
