Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Р {(A cos h (t, + h) + ф]........A cos [r) (tn + h) + ф]) e C} =
= P {(A cos (т|/! + ф), A cos {x\tn + ф)) e C}. (*)
Обозначим через В множество троек (x,y,z), х 5= 0, у ^ О, ze е [0, 2я), таких, что (х cos(ytl + z), ..., х cos(ytn + z)) e С; это множество — борелевское. Для любого действительного z положим (z)2jt = z —2nfe, где k — целая часть от г/(2я). Тогда (*) перепишется в виде
Р {А т|, (Ф + т)А)2я) s5} = P {(А, т), ф) ?= В).
Теперь учтем, что (А, т]) и ф независимы, т. е. их совместное распределение представляется в виде произведения двумерного и одномерного: — и воспользуемся теоремой
Фубини. Получим, что требуется доказать равенство
ОО ОО
S S »Ац <dx d«) (2: (*• У’ <2 + Ук\п) S В) =
О О
ОО оо
= § § ^(dx dy) *2: у’ 2) е
о о
Но множество под знаком jiq, в левой части получается из множества в правой части сдвигом на yh и приведением по модулю 2л; распределение — равномерное, т. е. не меняющееся при сдвиге, обе части равны, и все доказано.
2. функции an(t) — неубывающие; из сходимости последовательности неубывающих функций к непрерывной неубывающей функции на всюду плотном подмножестве отрезка, включающем его концы, вытекает равномерная сходимость; значит, достаточно доказать, что Р {ап (/)—>/} = 1 для всех t = kj2m. Для
ОО
п ^ m имеем М (ап (/) — t)2 — 21 - 2-л, М ^ (ап (t) — О2 —
п=О
оо оо
= ^ М (а„ (/) — t)2 < оо. Раз у суммы ряда ^ (а„ (t) — t)2
/1=0 /1 = 0
343
конечное математическое ожидание, то с вероятностью 1 он сходится, и a„(t)—1-*-0.
4. Достаточно проверить, что для любых 0 ^ /1 ^ ... ^ tn независимы случайные векторы (w\ , w\...............w\ j, ..., (w^ >
Wf ¦, ...,wrt ). Их совместное распределение — гауссовское, и,
1 ПУ
чтобы установить независимость, достаточно проверить, что любая координата i-го вектора и любая координата /-го, / ф /, некоррелированы. _
5. Легко проверить, что = (ю] + ®()/л/ 2 — также винеровский процесс; поэтому
п— 1
1. i. m. ? (w\. + x - (w]. + x - wfj =
1=0
r n~1 n-l
=т 1 Lm- Z2 т *uf -h m- Z K+i - wu)2-
L 1=0 1=0
i= 0 J
= ~ [2 (b - a) - (b - a) - {b - a)} = 0.
6. Для 0 < t\ < ... <C tn находим плотность:
я-1 (ti — ti_t)
>4......м-Пиг^Е:
)2 + (Xi - Xi-Xf '
i = 1
где x0 = t0 — 0.
7. Рассмотрим случайные векторы т\. — ^ j (?;)>
^ i ^ п. Легко видеть, что
n
(л/п Yn (/,)...л/п Yn (tk)) = —- У (Г). - Мт^); по многомер-
Vn ?1
ной центральной предельной теореме для одинаково распределенных слагаемых распределение этого вектора сходится к нормальному с нулевым средним и такой же матрицей ковариаций, как у (Что касается последней, то cov F—I(f)](^<)
*(—.*-V)i&))=8 At~st-) °
8. Берем разбиение X — A", (J Х2 U ... U Хп U ... множества X на непересекающиеся множества конечной меры; рассматриваем конечные меры т,(Л) = т(А П Xi); с помощью счетного числа
независимых величин Vi, |u, |i2.....v2, ?21,122, ..., v,-, |/ь |i2, ...
строим независимые пуассоновские меры я; со средними т,-. Полагаем я (Л) = я (Ai) + я(Л2) + ...
344
z
9. Рассмотрим построение пуассоновской меры я со средним т при помощи независимых случайных величин v, gt, g2, Чтобы я-мера какого-то одноточечного множества была больше 1, необходимо, чтобы совпали какие-нибудь две величины
li = lh Но р {?i = ti) = (тХт) {(*, *)} =^ т {*} т (dx).
Для случайной меры, по которой строится пуассоновский процесс, т = a-mes, и утверждение вытекает из того, что мера Лебега от одноточечного множества равна нулю. ,
10. Найдем, скажем (для / < <2 < /3), Р = — 1, r\u = 1
г)ь = !} = Р {выпал герб, нечетно, — нечетно, —
четно} + Р {выпала решка, четно, нечетно,
четно} = [Р {выпал герб} Р нечетно} + Р {выпала решка} X X Р {gf, четно}] Р нечетно} Р {1и — %и четно}. Вероятность в квадратных скобках равна 1/2; Р нечетно} =
(fl = - е~2а а третья
