Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
т 2 т т т т
iks'
21. М
^ eiultdt _= UelulteiXslsdtds = ^ ^eiue~iksX
0 0 0 0 0 X К (t—s) dt ds. Сделаем замену переменных t — s = «, т
(t + s)j2 — v; получим ^ (T — | и |) etXllK (u) du. При T ~> oo это
J
выражение есть T \ еЛиК (и) du + о (7").
349
22*. Естественно, коэффициенты Фурье должны получаться по формуле
я/2
Хп = 4л~1 ^ sin ((2п — 1) /) Wfdt.
о
Совместное распределение любого числа Х„ — гауссовское. Ясно, что = 0, а чтобы найти дисперсии и ковариации этих слу-
чайных величин, перейдем к стохастическим интегралам:
я/2
Хп = ^ w‘d cos ((2я — !) О =
о
я/2
4тт “I
= ~2—_ t ^ cos ((2я — 1) О dwt
О
(внеинтегральный член обращается в нуль). Отсюда
я/2
1вп~2 Г
MXnXm Н-(2га- --1) (2m- ТУ J COS ((2я-1)0 COS ((2m-1)0 Л.
о
При т ф п этот интеграл обращается в 0, а при т — п дает 4лН/(2 п— I)2.
Сходимость ряда Фурье вытекает из сходимости ряда из DXra, а то, что его сумма равна wt (почти наверное), выводится из полноты системы {sin(2«— 1)/, я= 1,2, ...} на отрезке от 0 до л/2.
§ 2.2
1. Имеем: А'2 = А][)А2, Л j = (^! \ ^2)и(^42 \ ^l)’ почти
наверное g (Л,) + 6 Ш = g (А, \ Л,) + | М, П Аа) + 6 М,\ Л,) + + ё (Л, П Л,) = ё ((Л, \ Л2) и (Л*\ Л,)) + 2g (Л, П л2).
2. Достаточно доказать существование конечного
«7 м (Е, — ё/о) (1^1^).
с — u~>t -
3. Задачу во много раз проще решить самому, чем смотреть в ответ. Равенство (с вероятностью 1) стохастических интегралов докажите сначала для простых g.
4. Прежде всего нужно проверить, что оба интеграла имеют смысл. Для стохастического интеграла в левой части:
Для интеграла в правой части достаточно проверить, что ^ { (х. у) ? (dx) — непрерывная в среднем квадратическом слу-х
чайная функция от у. Имеем:
М ^f(x,y')l(dx) — ^f(x,y)l(dx)
X X
= ^ 1 / (*. у') — I (*, у) I2 т (dx). х
При у’ -*¦ у функция под знаком интеграла стремится к 0, причем она мажорируется интегрируемой по мере т функцией 4 max | f (х, у) |2; поэтому предел интеграла равен 0, и а
1. i. rn. [f (х, у') I (dx) = [f(x, у) I
(dx).
Для разбиения a == y0 < y\ < ... <Lyn-\ < yn = b отрезка от а до b положим {(x, у) = f(x, yt) при yt sg у < !/,+1. Ясно, что
a U
= 1. i. m
П— 1
lrf*/ = l.i.m.?(i/.+ 1 -^) J f(x, yi)l(dx)=-
J i=0 X
n — I
• jj ?(», + , -yt)f(x’ yi)l(dx) =
= 1. i. m. ^ ^ f (*, y) dy j I (dx)
X i= 0
X L a
при измельчении разбиения; докажем, что этому же пределу Г ь
равен
? (dx), — тогда все будет доказано.
Снова пользуемся формулой для дисперсии стохастического интеграла:
М
l(dx)~ П ^ !/)<fy |?(rf*)
j: «- a
ib
^ [f (*, y)—f(x, 0)] dy
a
m (dx).
Функция под знаком интеграла здесь также стремится к нулю (при измельчении разбиения), и она мажорируется функцией
351
4(6—a)2 max | f (х, у) \2. Нужное нам предельное соотношение
доказано, а с ним доказана и вся микротеорема о возможности перемены порядка интегрирования.
5. Положим f*(i) = f(si) при tict^ti+l (f(s0) в точке а) ¦ тогда рассматриваемая интегральная сумма есть Ь
^ f* (t) d%t. Имеем
М
¦ М
U ?, U
J [f(t)-r(t)]dlt =\\f(t)-r(t)\2dF(t)^
а а
^.[F (b) — F (a)] max max | f (t) — f (s)|2,
0<i<n fi + ]]
что стремится к нулю при измельчении разбиения.
Вывод правила интегрирования по частям:
Ь п-1
^(0^г = 1Л.т.?^г)(Ц + 1-Ц) = a i= о
= 1. i. т. [/(*) lb - f (а) 1а - ? Ц + 1 (f (ti + l) - f (*,))] =
L t-=0 •
ь
= f(b)lb-f(a) la-\ltf'(t)dt.
a
