Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 129

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 146 >> Следующая


§ 3.1

1. Для любого пространства с конечной мерой (X, 8В, ц) в пространстве L2 (X, 8В, ц) всюду плотно множество функций

вида f(x)=Yi ckxA (х), Ak

Если ст-алгебра 8Ё порож-

дается алгеброй si- (9Ё = a (si-)), то всюду плотно и множество линейных комбинаций индикаторов множеств Ak^sl-. В данном случае в качестве si- можно взять систему множеств вида

{(**,.....Ч)еВ}'

2. Легко видеть, что всюду плотно множество случайных величин вида f (1^. •••>?/ .....^ е гДе f — функция

не только измеримая, а непрерывная и ограниченная. Выбирая

*(.*> (

-*¦ tt при

= Hm (P)f(t

k->oo

¦oo, получаем f(¦¦¦. EiJ-Но для последовательности огра-

352
ничеииых в совокупности случайных величин из сходимости по вероятности вытекает сходимость в среднем. Это доказывает нашу микротеорему.

Сепарабельность L\ теперь выводится из сепарабельности пространств L2 (d\it t

3. Это будет так для величин вида сп + c,\t с ?<

и 1 1 п п

(потому что любые линейные комбинации случайных величин, имеющих совместное гауссовское распределение, тоже буду г иметь гауссовское распределение: проще всего это доказывается, по-видимому, с помощью характеристических функций). Если

г)г = 1. i. m. т|(г^, где г)^— величины указанного вида, то сходи-

k —^ ОО

мость имеет место также и по вероятности, и «по распределе-

нию», т. е. совместные распределения ..............т)„ сходятся

к распределению (г)ь ..., т)„). Остается заметить, что слабый предел последовательности гауссовских распределений — тоже гауссовское распределение.

4*. Из непрерывности в среднем (еГ, вытекает сепарабельность пространства И^. Если И^ конечномерно, то выбираем в нем ортогональный базис t)i, ..., т)„ и получаем, что

имеет место представление первого рода. Если же это простран-

ство бесконечномерно, то оно изоморфно L2[0, 1]; зафиксируем некоторое изоморфное соответствие. Обозначим через Wt случайную величину из Исоответствующую при этом изоморфизме функции Х[о *]• Величины wt, 0 t 1, образуют гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляцион-

1

ной функцией Mwtws=^ x[0t](u) X[0s](u) du = s л t, т. e.

о

винеровский процесс. Если определить f(t, ¦) как функцию в L2[0, 1], соответствующую случайной величине получаем искомое представление.

ОО ОО оо

5. { lim ln = a}= |~| U П (IIn — дI < 'А”) ПРИ любом

т= 1 n0=k n = n<s

натуральном k. Здесь все события {| — я | < 1/т} е так

что / lim \ —aX^^‘~>k при любом k, т. е. Him ? = а\ е

Л-> оо Л->оо

Для второго события пользуемся представлением

оо оо ОО ОО

П U П П l\ln-ts\<Vm).

т~I nQ = k п = по s=n0

6. а значит, Ле^, 2 j. Эта а-алгебра

ОО

порождается алгеброй (J ^ пу, значит, для любого е > О

II. ”1

353
что р (лм6) < е. Раз А принадлежит 9~^п + 1 —а-алгебре, независимой от jj П], то А и А& независимы: Р (/I/I8) = Р (Л) Р (/Iе).

Левая часть отличается меньше чем на е от Р (/4); правая — от Р (Л)2. Отсюда | Р (/4) — Р(И)2|<2е, а так как е произвольно, то Р (Л) = Р (Л)2 (А не зависит само от себя). У этого квадратного уравнения два корня: Р(Л) = 0 и Р(/1)=1.

7. Для любого х имеем

F (х) = Р { lim gn ^ х} = 0 или 1;

П оо

а определится как точка, где F делает скачок.

8. Для стохастически непрерывного процесса ц <+j со-

держит, во всяком случае, события, отличающиеся лишь на множества вероятности 0 от событий ст-алгебры 9~=t\ так что в случае винеровского процесса для закон 0—1 не будет

выполняться. Для того же винеровского процесса и ст-алгебры

0+] в § 9.2 доказывается закон 0—1 Блюменталя. Для пуассоновского процесса тривиальность ст-алгебры 9~<0+ доказать совсем легко.

Еще пример. Процесс с двумя траекториями: Р =

~ Р {’Ъ = = */2’ ^(0,0+] = < + ] = И В кажД°Й из

этих ст-алгебр есть события вероятности 1/2 ф 0, 1.

9. Я{), 2 j порождается ортогональными векторами 1,

; произвольная случайная величина т| е Н~^+ао ортогональна |i, g2, ..., а значит, пропорциональна 1.

§ 3.2

1. Самому так самому.

§ 3.3

1. Последовательность ti = при г) имеет ортогональные при-

п

ращения: она ограничена по норме: ||т)„ [| ^ ||т) ||. Значит, существует предел т|„; обозначим его ti,,,. Из r)rt <= Нп s. Н^ вытекает, что е Н^. Чтобы доказать, что т|оо = пР// Л* остается прове-
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed