Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3.1
1. Для любого пространства с конечной мерой (X, 8В, ц) в пространстве L2 (X, 8В, ц) всюду плотно множество функций
вида f(x)=Yi ckxA (х), Ak
Если ст-алгебра 8Ё порож-
дается алгеброй si- (9Ё = a (si-)), то всюду плотно и множество линейных комбинаций индикаторов множеств Ak^sl-. В данном случае в качестве si- можно взять систему множеств вида
{(**,.....Ч)еВ}'
2. Легко видеть, что всюду плотно множество случайных величин вида f (1^. •••>?/ .....^ е гДе f — функция
не только измеримая, а непрерывная и ограниченная. Выбирая
*(.*> (
-*¦ tt при
= Hm (P)f(t
k->oo
¦oo, получаем f(¦¦¦. EiJ-Но для последовательности огра-
352
ничеииых в совокупности случайных величин из сходимости по вероятности вытекает сходимость в среднем. Это доказывает нашу микротеорему.
Сепарабельность L\ теперь выводится из сепарабельности пространств L2 (d\it t
3. Это будет так для величин вида сп + c,\t с ?<
и 1 1 п п
(потому что любые линейные комбинации случайных величин, имеющих совместное гауссовское распределение, тоже буду г иметь гауссовское распределение: проще всего это доказывается, по-видимому, с помощью характеристических функций). Если
г)г = 1. i. m. т|(г^, где г)^— величины указанного вида, то сходи-
k —^ ОО
мость имеет место также и по вероятности, и «по распределе-
нию», т. е. совместные распределения ..............т)„ сходятся
к распределению (г)ь ..., т)„). Остается заметить, что слабый предел последовательности гауссовских распределений — тоже гауссовское распределение.
4*. Из непрерывности в среднем (еГ, вытекает сепарабельность пространства И^. Если И^ конечномерно, то выбираем в нем ортогональный базис t)i, ..., т)„ и получаем, что
имеет место представление первого рода. Если же это простран-
ство бесконечномерно, то оно изоморфно L2[0, 1]; зафиксируем некоторое изоморфное соответствие. Обозначим через Wt случайную величину из Исоответствующую при этом изоморфизме функции Х[о *]• Величины wt, 0 t 1, образуют гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляцион-
1
ной функцией Mwtws=^ x[0t](u) X[0s](u) du = s л t, т. e.
о
винеровский процесс. Если определить f(t, ¦) как функцию в L2[0, 1], соответствующую случайной величине получаем искомое представление.
ОО ОО оо
5. { lim ln = a}= |~| U П (IIn — дI < 'А”) ПРИ любом
т= 1 n0=k n = n<s
натуральном k. Здесь все события {| — я | < 1/т} е так
что / lim \ —aX^^‘~>k при любом k, т. е. Him ? = а\ е
Л-> оо Л->оо
Для второго события пользуемся представлением
оо оо ОО ОО
П U П П l\ln-ts\<Vm).
т~I nQ = k п = по s=n0
6. а значит, Ле^, 2 j. Эта а-алгебра
ОО
порождается алгеброй (J ^ пу, значит, для любого е > О
II. ”1
353
что р (лм6) < е. Раз А принадлежит 9~^п + 1 —а-алгебре, независимой от jj П], то А и А& независимы: Р (/I/I8) = Р (Л) Р (/Iе).
Левая часть отличается меньше чем на е от Р (/4); правая — от Р (Л)2. Отсюда | Р (/4) — Р(И)2|<2е, а так как е произвольно, то Р (Л) = Р (Л)2 (А не зависит само от себя). У этого квадратного уравнения два корня: Р(Л) = 0 и Р(/1)=1.
7. Для любого х имеем
F (х) = Р { lim gn ^ х} = 0 или 1;
П оо
а определится как точка, где F делает скачок.
8. Для стохастически непрерывного процесса ц <+j со-
держит, во всяком случае, события, отличающиеся лишь на множества вероятности 0 от событий ст-алгебры 9~=t\ так что в случае винеровского процесса для закон 0—1 не будет
выполняться. Для того же винеровского процесса и ст-алгебры
0+] в § 9.2 доказывается закон 0—1 Блюменталя. Для пуассоновского процесса тривиальность ст-алгебры 9~<0+ доказать совсем легко.
Еще пример. Процесс с двумя траекториями: Р =
~ Р {’Ъ = = */2’ ^(0,0+] = < + ] = И В кажД°Й из
этих ст-алгебр есть события вероятности 1/2 ф 0, 1.
9. Я{), 2 j порождается ортогональными векторами 1,
; произвольная случайная величина т| е Н~^+ао ортогональна |i, g2, ..., а значит, пропорциональна 1.
§ 3.2
1. Самому так самому.
§ 3.3
1. Последовательность ti = при г) имеет ортогональные при-
п
ращения: она ограничена по норме: ||т)„ [| ^ ||т) ||. Значит, существует предел т|„; обозначим его ti,,,. Из r)rt <= Нп s. Н^ вытекает, что е Н^. Чтобы доказать, что т|оо = пР// Л* остается прове-