Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ОО ОО
н (Се) > 1 — е, ц' (Хт \Се)> 1 — е. Положим С = (J [~| С ь,
п — 1 k — n
оо оо
D = [J П Гхг\С (Л; это — непересекающиеся подмноже-
___t ь •- J/2J
п= I k ~п
ства X . Лемма Бореля — Кантелли дает нам [х (С) = 1, ц' (?>)= 1, а это означает сингулярность мер jx, ц'_
5. Воспользоваться результатом задачи 2. Это — частный случай задачи 15.
7. Выберем tu ..., tn так, чтобы выполнялось неравенство
S ••• S x«)]a*tl...tn(** 1 ¦••</'„) <®2-
хп
Воспользуемся задачей 4. В качестве множества А возьмем {(*,, ¦ • -, хпу. ht ( (*[, .. ^ 1/е}; в силу чебышёвского
неравенства
‘-I**, ... in (Л)=^,... tn {(*1. хпУ ht, ... tn (xv •••• *n)>V*}<
<8 ^ S A'i- 'n^1, x")]lU---tSdXl ••• djrn)=e-
xn
359
С другой стороны,
$•••5 v-^i....................xn>ti...tn(dxi---dxn)<
{ftf, ...tn(x 1.*л)<'/Е}
A
X|i( * (dJCj ... dx \ < (1/e)1 “ e2 < e,
1 ' П ' '
что и требовалось.
8. Пользуемся результатом задачи 7 при а = 1/2.
9. Мл5 = 1; далее применяется лемма Фату.
10. Доказывается, что я5 = М (я | 9~s), где STs — а-алгебра, порожденная конечным числом случайных величин \t, t е S. Согласно задаче 12 § 1.2 jis равномерно интегрируемы; отсюда вытекает, что возможен предельный переход под знаком математического ожидания: Мя = iim Мя„ = 1.
С А ^
11. Достаточно доказать для любого конечного S0 s Т, что Р' {т|. е С} = Мх(?# <= с)л* Для произвольного Cefs,(/) (см. -задачу 3). Выберем последовательность конечных подмножеств Sn э S0, для которых -> я* (п-хх,). Пусть
принадлежность которому координат xt, t е Sn, определяется множество С:
(такое А„ существует, потому что So s S„). В силу леммы Фату
Выражение под знаком предела записывается через конечномерное распределение так:
Sf
обозначим через Ап то множество, через
Но это — не что иное, как (Ап) = Р' {tj. е С}. Итак,
1 тп
мХ(5>ес)л’<р'{л.еС}.
(*)
360
Так как по условию Мл*=1, то отсюда получаем МХ{?.еС>л*>Р'{П. еС},
и в (») имеет место равенство.
Микротеорема доказана.
12*. Задача решается с использованием условия сингулярности, данного в задаче 7, которое оказывается не только достаточным, но и необходимым (в случае абсолютной непрерывности конечномерных распределений).
13. Разумеется, абсолютной непрерывности нет при с = 1, потому что при этом Р {т|[ = 0} = 1, а Р {ш, = 0} = 0, и и
Нщ, сингулярны. Пусть с ф 1. Возьмем 0 <С ti < ...С tn-i <; <С tn = 1. Совместная плотность распределения
Рщ л, (-*1....*п-1> Хп) =
1 ' п— 1 п
П
¦X
\1-с \ 11 V2«(^
X ехр { - [д, -j-^y (U-U-i) xnJ/[2(^—И
(Полагаем t0 = 0, x0 = 0. Формулу (*) можно получить, например, пользуясь тем, что т); — гауссовский процесс со средним 0 и корреляционной функцией Кц (t, s) = t Л s — (2с — с2) ts.) Деля эту плотность на рщ щ (х{, ..., хп), получаем
(Г,____1_А}
IL (1-с)2 2 У
__------- еХр
Это означает, что имеет
место абсолютная непрерывность бесконечномерных распределе^ ний с плотностью
(dx.) 1
V-w. (dx.) _ I 1 — с I 6ХР
(здесь, в отличие от формулы (»), xi — не независимое переменное, а значение функции х. в точке 1).
15. В случае q>0 Ф 0, естественно, имеет место сингулярность; будем рассматривать случай <р0 = 0. Для 0 = < ti С ... С
< tn ^ Т, tn < оо находим (ха — 0):
*/! ... /„(-*1...*») =
= Plt ...It (xl’ ¦¦¦’ Xn)--Pwt ...wt (*l..........Xn) =
361
Отсюда для S = {^, ..,, t„} или S = {0, ft, .. •. /„} получаем: ( п —Ф<.
"S = hS (®.) = еХР ] Е (*% ~ WU-x) ~
i-1
1 у (ф«,-^-,)2 )
2 к j
Если ф/ не является абсолютно непрерывной функцией с интегрируемой в квадрате производной, то вторая сумма может быть сделана сколь угодно большой за счет выбора tu ... , ta (см. Ф. Рисс и Б. Секефальви-Надь. «Лекции по функциональному анализу» (М.: ИЛ, 1954, лемма из § 36)); в этом случае задача 7 позволяет установить сингулярность:
»j 1 /2 {
M.s =ехр|-т^-1-7-—j,
что сколь угодно мало.
t
Если ^ ds, ф. е L2 (О, Т), то
