Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(^ I U • fe = 0
вероятность есть (l + е~2а (*3~*2>)/2. Ясно, как находится вероятность любых значений т), , ..., ть .
1 п.
11. Интеграл сходится почти наверное, если сходится
^ ^ min (jf (s, и) j, 1) т (ds du). Характеристическая функция
(О, t\ Ю
равна ехр f \ \ (е‘г^ “>— 1 )m(dsdu)\. Сначала
1«, П R1 )
рассматриваются функции f, принимающие конечное число значений; для произвольных f, согласно определению интеграла, используется предельный перевод.
12. Согласно определению достаточно проверить, что для любого е > 0 существует число К такое, что
J |M(E|rf)|P(da)<e
{0): |М (1\Л)\>К) для всех Почти наверное | М (? | s&) | г^М (| g 11 st), поэтому
J |M(E|rf)|dP< J M(IEI|j#)dP<
{|M(SI^)|>JC} {| М (5 | Л)\> к>
< J M(|El|j*)dP = J \l\dP
{M(|?| l'^l>K} {М(1?ЦЛ)>Х}
(последнее — по определению условного математического ожидания: ведь область интегрирования j^-измерима). Но известно, что если ? — интегрируемая функция, то для любого е > 0 существует б > 0 такое, что ^ | ? | dP < е, как только Р (А) < б.
А
345
Зкачит, достаточно указать такое К, что Р {М (| ? 11 s?) > К] < 6 для всех л#. Неравенство Чебышева дает нам
Р{М(|?||л*) >К}<Я-,ММ(|Б||.*)=*-1М|Б|;
итак, достаточно взять i( = 6-1M|?|.
§ 1.3
1. ? c^kK (tj, tk) = cov f Y Cjlt Y, С*=;,Л > 0 (э™ -
i,« \ j 1 k V
дисперсия).
OO
2. I. = 0; К (t, s) = ^ cos X (t — s) ц (dX), где мера [i на
о
[0, oo) определяется так: [i (В) = — ЫА%В (iq). Вывод см. в § 4.1.
2. Mwt = х0; для имеем К (t, s) = cov (wt, ws) =
= cov (ws, ws) + cov (wf — ws, ws — w0) = Dais + 0 = s. Учитывая и случай s > t, получаем К (t, s) = t A s.
4. M?* и К (t, s) не существуют.
5. M л/n Y (t) = 0, К i—, (t, s) = t A s — ts (см. решение
n yn Yn
задачи 7 § 1.2).
7. = at; К (t, s) — a ¦ (t Л s) (аналогично примеру 2).
8. Пользуясь результатом задачи 10 § 1.2, находим Мт^ = = 0; К (t, s) = Мт^,. = 1 -Р {Л/ = ris} + (—1)-Р {Л, = —= = (l + e-2al'"sl)/2-(l — e~'la I *1)/2 — е~2а I I.
3. К (t, s) = difi (t) /, (s) + ... + dnfn (t) fn (s).
4. Пусть сначала ?(f, ш)—ступенчатая случайная функция
на Т с точками скачков tt < /2 <С ... <; т. е. имеются случайные величины ?0, ?ь ?г, ?п такие, что ?(/, to) = ?о(<о) при
t < ti, i(t,ti>)=l ,(ш) при /, sg t < t2, ..., l(t, w)= ?„-,(«)
при /„_! s: / <; tn, ?(/, a>) = ?r,(a>) при / Тогда функция
? (•, •) измерима относительно a-алгебры действительно,
для любого измеримого подмножества А пространства X, в котором лежат значения ?(/, со),
{(?, to): ? (t, со) е А) =
= (Т П(-°°, ^i)) X {со: ?„(«D)Si4}U[<i, /2)Х{ш: ?, И е= A] U -..
• • • U !, tn) X {со: (a.) s Л} U (Т Л [/„, оо))Х {со: ?„ (<о) е Л}.
Все слагаемые здесь по определению принадлежат 9&т X значит, и сумма принадлежит этой а-алгебре.
Теперь пусть \(t, ш)—произвольная случайная функция с реализациями, непрерывными справа. Определим случайную функцию \n{t, со), положив ее равной ?(([2"/] + I)/2", со) для всех tsT, за исключением тех, для которых (\2nt] -j- \)!2п <?Т; для этих оставшихся t определим ?,>(/, ш) как ?(6, со), если Ь — правый конец отрезка Т, и как произвольный элемент хо е X, если у отрезка Т нет правого конца. Так как i\2nf\ + 1) /2" j t при п-*-оо, то ?„(?, со)-»-?(/, to) при всех (/, to). По доказанному
346
функции ?„ (•, •) измеримы относительно <ЯтХ.2Г, значит, измерим и их предел ? (•, •). (Напомним, что X — метрическое пространство, а в качестве а-алгебры SB взята а-алгебра З&х борелевских подмножеств X.)
Если реализации непрерывны слева, доказательство остается тем же, только вместо [2я/] + 1 берется [2nt],
5. Отображение ш -> |т ((0) (ш) измеримого пространства
(Q,^-) в измеримое пространство (Х,8в) измеримо как произведение измеримых отображений ш^-(т(ш),(о) пространства
(Q, У) в (ГХЙ, и (t, со) -*-|((ш) пространства
(Г X й, Г X ЗГ) в (X,SB).
§ 1.4
1*. Необходимое и достаточное условие: существует у0 такое, что Р {г> = г/0} == 1; распределение А ~ показательное (т. е Р {Д = 0} = 1 или А имеет плотность ае~“х при х > 0.
2. М?, = 0; K^(t, s) = e~(e~s {e2t A e'ls) = et~s Д =
§ 2.1
1. Полагаем t]n = |, + .,. + ln; находим (n, m) =>
Дт; применяем микротеорему 1 § 2,1.
2. Совместное распределение (Сп, С2п) сходится к нормальному с параметрами ^(0, 0); ^ \j\f2 а распределение (?rt, t,n) — к нормальному ((0, 0); ( | 1 ))' Значит, предел