Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
о
тт:; “И'1"
(это вытекает из леммы, на которую мы уже ссылались; см. цитируемую в предыдущем абзаце работу). Докажем, что
т
__ <Pj — <Pj г
sT(Р) Z i‘"t‘ 1 ~ = \ ф‘ dwf
* t, « «-1 «
Для этого, как мы знаем, достаточно проверить, что ступенчатые функции
+t(S) = J <,--/7., при
I о при t > tn
сходятся при Sf к ф( в среднем квадратическом на отрезке от
О до Т. Представляем читателю проделать это самостоятельно. Если это доказано, получаем
lim (Р) л„ = я* = ехр
jj j.
362
Согласно задаче 11, остается проверить, что Mrt*—1. Но это
т
вытекает из
личина с нулевым средним и дисперсиеи
того, что г\ = ^ dwt — гауссовская случайная ве-и
т
а2 = ^ ф® dt:
О
оо
МвЧ-*'2 = е-°2/2 [ еУ -L- e-»’/<2o*) dy= 1.
J У 2 п а
— ОО
16*. То, что Р'— вероятностная мера, устанавливается легко. Абсолютная непрерывность распределений: из Р {§, ёС) =
= ц (С) = 0, Се 86т, вытекает Р' {|. еС} = е Cjii = 0.
Однако, вообще говоря, я ф ~j~ (?.) (== М (“I потакая конструкция дает возможность из одного случайного процесса получить различные другие (см., например, Дынкин (1963, введение, § 6, гл. 10, § 4)).
17*. Положим ? = max да,, r\, = w.-\~bt, т= max тъ, 0</<г г г 0</<г
Цт (dx) Hr, (dx.)
~g(x), —r—h(x,), л: — h(w,). В силу за-
\it(dx) 5 ’ Нщ,. (dx.)
дачи 15 имеем Я = ехр{йдаг — й2Г/2}. Упомянутая формула (9) дает
/ \ ul bwT-b’TI21 •»
g(x) = Mle \l = x] =
J
eby ЬгГПРтт, ; (У, *) dy: pt (x),
a px(x) = p^(x) g(x). Итак, считаем: при x > 0
OO
Px (*) = ^ eby~b2TI2PwT, t =
a;
= J е»У^2 AJ-lT{2x-y)e-V*-«^dy-
~ OO
= л/Л-е-^+ьт)2Н2 T) _ 2^ф ( -J-bT\
V л^3 V /
При x 0 плотность, естественно, равна иулю.
Теперь выясним, что будет с этим распределением при Т оо. Если 6 — 0, плотность равномерно в каждом конечном промежутке стремится к нулю, т. е. распределение уходит иа
363
+оо. Это означает, что с вероятностью 1 sup w, —
О <. *¦ < оо
= lim max а>, = оо. То же будет и в случае и > О, хотя
Г->оо 0<<<Г
бы потому, что в этом случае > wt. Напротив, при Ь < О первый член в выражении для плотности стремится к нулю,
а второй — к 2 I b | е-21 ь I * f потому что lim фГ--------------* ^^ ^ =
V г-»оо V У Г /
= Ф(+°о)=1]- Таким образом, распределение max ть в
J 0<<<°о
этом случае — показательное с параметром 2|6|.
18*. Аналогично предыдущей задаче, если мы обозначим рассматриваемый максимум через т, имеем (плотность бесконечномерных распределений вычислена в задаче 13):
ОО
м*)= \ ТП=7Гехр { [‘ ~ С(г/’ ^ =
— оо
=-----^ ехр | Г1---------------1--1 1 X
I 1 —С I j IL (1-с)Ч 2 J
— ОО
X^/~(Z*-y)e-{2X-ymdy-
__ ор2х2 (1 — с)г-2^2 Г I 1 — С I - [х -2х (I - с)г]2/[2 (1 - с)2] ,
L у^ +
Конечно, эта формула действует при х > 0, а при х ^ О плотность равна нулю.
Устремив с к единице, получим предельную плотность: р (х) = 4хе~2х?Ф (+ оо) = 4хе~2хР при х > 0; р (х) = 0 при х <: 0. Так как это выражение имеет интеграл 1, то это — плотность предельного распределения, т. е. плотность распределения случайной величины max (w.—tw Д l4 1 и
§ 5.4
3. Использовать характеристические функции.
4. Для произвольной ограниченной непрерывной функции f на R1 функционал F (х.) = f ( max х ) ограничен и непрерывен,
0<<<г 1’
поэтому MF (s'*) ->• М F (w.) (Л 10), или С f d\i
\ •/ • / v т J max S“ J rmax
5. К распределению тождественного нуля.
6*. Произвольная последовательность неслучайных функций, сходящаяся в каждой точке к нулю, тогда как их максимумы не сходятся к нулю.
364
§ 6.1
1. {тг<п}= IJ {|4ЕГ}еГ<л.