Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 133

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 146 >> Следующая


о

тт:; “И'1"

(это вытекает из леммы, на которую мы уже ссылались; см. цитируемую в предыдущем абзаце работу). Докажем, что

т

__ <Pj — <Pj г

sT(Р) Z i‘"t‘ 1 ~ = \ ф‘ dwf

* t, « «-1 «

Для этого, как мы знаем, достаточно проверить, что ступенчатые функции

+t(S) = J <,--/7., при

I о при t > tn

сходятся при Sf к ф( в среднем квадратическом на отрезке от

О до Т. Представляем читателю проделать это самостоятельно. Если это доказано, получаем

lim (Р) л„ = я* = ехр

jj j.

362
Согласно задаче 11, остается проверить, что Mrt*—1. Но это

т

вытекает из

личина с нулевым средним и дисперсиеи

того, что г\ = ^ dwt — гауссовская случайная ве-и

т

а2 = ^ ф® dt:

О

оо

МвЧ-*'2 = е-°2/2 [ еУ -L- e-»’/<2o*) dy= 1.

J У 2 п а

— ОО

16*. То, что Р'— вероятностная мера, устанавливается легко. Абсолютная непрерывность распределений: из Р {§, ёС) =

= ц (С) = 0, Се 86т, вытекает Р' {|. еС} = е Cjii = 0.

Однако, вообще говоря, я ф ~j~ (?.) (== М (“I потакая конструкция дает возможность из одного случайного процесса получить различные другие (см., например, Дынкин (1963, введение, § 6, гл. 10, § 4)).

17*. Положим ? = max да,, r\, = w.-\~bt, т= max тъ, 0</<г г г 0</<г

Цт (dx) Hr, (dx.)

~g(x), —r—h(x,), л: — h(w,). В силу за-

\it(dx) 5 ’ Нщ,. (dx.)

дачи 15 имеем Я = ехр{йдаг — й2Г/2}. Упомянутая формула (9) дает

/ \ ul bwT-b’TI21 •»

g(x) = Mle \l = x] =

J

eby ЬгГПРтт, ; (У, *) dy: pt (x),

a px(x) = p^(x) g(x). Итак, считаем: при x > 0

OO

Px (*) = ^ eby~b2TI2PwT, t =

a;

= J е»У^2 AJ-lT{2x-y)e-V*-«^dy-

~ OO

= л/Л-е-^+ьт)2Н2 T) _ 2^ф ( -J-bT\

V л^3 V /

При x 0 плотность, естественно, равна иулю.

Теперь выясним, что будет с этим распределением при Т оо. Если 6 — 0, плотность равномерно в каждом конечном промежутке стремится к нулю, т. е. распределение уходит иа

363
+оо. Это означает, что с вероятностью 1 sup w, —

О <. *¦ < оо

= lim max а>, = оо. То же будет и в случае и > О, хотя

Г->оо 0<<<Г

бы потому, что в этом случае > wt. Напротив, при Ь < О первый член в выражении для плотности стремится к нулю,

а второй — к 2 I b | е-21 ь I * f потому что lim фГ--------------* ^^ ^ =

V г-»оо V У Г /

= Ф(+°о)=1]- Таким образом, распределение max ть в

J 0<<<°о

этом случае — показательное с параметром 2|6|.

18*. Аналогично предыдущей задаче, если мы обозначим рассматриваемый максимум через т, имеем (плотность бесконечномерных распределений вычислена в задаче 13):

ОО

м*)= \ ТП=7Гехр { [‘ ~ С(г/’ ^ =

— оо

=-----^ ехр | Г1---------------1--1 1 X

I 1 —С I j IL (1-с)Ч 2 J

— ОО

X^/~(Z*-y)e-{2X-ymdy-

__ ор2х2 (1 — с)г-2^2 Г I 1 — С I - [х -2х (I - с)г]2/[2 (1 - с)2] ,

L у^ +

Конечно, эта формула действует при х > 0, а при х ^ О плотность равна нулю.

Устремив с к единице, получим предельную плотность: р (х) = 4хе~2х?Ф (+ оо) = 4хе~2хР при х > 0; р (х) = 0 при х <: 0. Так как это выражение имеет интеграл 1, то это — плотность предельного распределения, т. е. плотность распределения случайной величины max (w.—tw Д l4 1 и

§ 5.4

3. Использовать характеристические функции.

4. Для произвольной ограниченной непрерывной функции f на R1 функционал F (х.) = f ( max х ) ограничен и непрерывен,

0<<<г 1’

поэтому MF (s'*) ->• М F (w.) (Л 10), или С f d\i

\ •/ • / v т J max S“ J rmax

5. К распределению тождественного нуля.

6*. Произвольная последовательность неслучайных функций, сходящаяся в каждой точке к нулю, тогда как их максимумы не сходятся к нулю.

364
§ 6.1

1. {тг<п}= IJ {|4ЕГ}еГ<л.
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed