Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
?76
F{x) ~ F(x) + cigl(x)+czg2{x) такую, что F'(0) = F'(l) = 0. Отсюда для Ci, с2 получаем систему линейных уравнений
С1Й1 (0) + сч&1 (°) = — ?' (0),
Cjgj (1) + c2g'2(\) = — f' (1).
Мы могли бы выписать gi, g2 в явном виде и проверить, что определитель этой системы не обращается в нуль при % > 0; но это вытекает из более общих соображений, а именно из того, что в силу принципа максимума решение единственно. Значит, решение существует при любой правой части.
§ Ю.З
ми U
1. Выделим конечное покрытие пространства X окрестностя-
Е/3
(*l)'
UЕ/3(хп). Для каждой точки х,- возьмем не-
отрицательную функцию fi<=DA, равную нулю в ^Е/з(х{) и положительную вне ^е/з (^г)- ^ля л1°бого 6>0 существует Ло > 0 такое, что
11~' (ptfi (х) - f{ (х)) — Aft (х) | < Smin {f{ (у): У е V2ф (xt)} при 1<г<я, х е X, t <: hQ. Если х е UE/3 (хг-), то /(. (х) = 0, Aft(x) = 0, и Ptfl(x)<t6min{fl(y): у е V2e/3 (хг)}; отсюда P(t,x, Ve(x))^P(t, х, V2ej3 (Xi))<6t.
2. Проверяется условие микротеоремы 2 (рис. 43).
0 1 ¦ Рис. 43
3, Вытекает из )| P*f — / |) =
PsAf ds
6. При 110 имеем Р (t, х, Г) = р‘%Г (х) = [E + tA+o (t)]X X Xr = Хг М + tA (х, Г) + о (t). Согласно задаче 4 § 9.2, Х(х)= lim 2п | 1пЯ(1/2га, х, {х) )| = \А(х, {х}) |= - А (х, {х} ).
ОО
Далее доказывается, что Рх ^ е Г} = lim Р (1/2га, х, Г)/[ 1 —
— Р( 1/2", х, {х} )], где Г — измеримое множество, не содержащее х. Числитель здесь равен (1/2”) Л (х, Г) + о (1/2"), а знаменатель эквивалентен (\/2п) Я (х). Отсюда я (х, Г) = А (х, Г)Д (х).
7. Представляем Л в виде В— аЕ, где Bf (х) = af (х + I).
Имеем е(Л = = e~atEetB = е“а' [? + + г2В2/21 +...];
отсюда (x) = e~at \f (х) + atf (х + 1) + a2t2f [х + 2)12\ + ...]=
ОО
= ^ {at)ke~atJ{k\)-f(x + k). к = 0
377
Этой полугруппе соответствует семейство пуассоновских процессов с независимыми приращениями.
9. Нужно найти меру ц такую, что ^ ц (dx) — f" (jc) = О
о
при всех f е Da.
1
Возьмем g е С [0, 1 ] и положим g° (х) — g (х) — ^ g (у) dy,
о
х х
A (jc) = ^ g° (у) dy, f (х) — 2^ h (у) dy. Легко видеть, что f е DA,
о о
I
потому что А (I) = А (0) = 0. Поэтому 0 — ^ ц (dx) g° (jc) —
о
1 i i = (dx) g (х) — ц [О, I] ^ g (у) dy, или, иначе, ^ g (х) [ц (dx) —
ООО
— ц [0, \\dx\-Q. Так как g— произвольная функция из С, то мера со знаком ц(-) — ц [0, l]mes(*) равна нулю, т. е. инвариантная мера с точностью до множителя есть мера Лебега. t t
11. -^j-^Psgds — Ptg; с другой стороны, А ^ Psg ds = о о
Psgds — ^Psg dsj.
t+h t здесь равна ^ Psgds — ^ Psgds — ^ Psgds —
= lim h 1 j ph \ Psg ds — \Psg ds |. Разность в квадратных скоб-
— U
t + h t t + h h
откуда A ^ Psg ds = P*g — g.
о
Единственность решения. Положим v^ (x) =
OO
= ^ e~Mv (t, x) dt; интеграл сходится при X > 0. При пре-
о
образовании Лапласа задача (4) — (5) превращается в уравнение
— Av^ = X~lg, решение которого единственно.
жества функций f, для которых эти пределы равны нулю, одни и те же для Pt и Р*.
14*. w(t, х^М^ехр jj c(?5)dsjf(^) + ^ ехр|^ c(?„)dujg(ydsj.
+
15. Ясно, что интеграл предсказуем и имеет ограниченную вариацию на каждом отрезке [0, f], Докажем, что { (?() — t
— ^ Af ds — мартингал. Во-первых, эта случайная функция
о
измерима относительно Во-вторых,
г t
м
(*)
= -\Af (Udu+[f (b) \r<s\- м, [ j л (У
почти наверное; в силу марковского свойства второг и третье слагаемые равны соответственно P*~sf (?s) и
П-S "I t — 5
.4f(?u)d«| = — ^ Pu Af (ls)ds. Пользуясь тем, что
t-s
Pt sf(y) — f (y) = ^ P“Af (y) du, получаем, что выражение (*) о
5"
почти наверное равно f (%s)— ^ Af(t,u)du.
о
Если выполнено марковское свойство относительно какого-нибудь неубывающего семейства сг-алгебр (см. п. О
t
§ 8.5), то ^ Af (Is) ds оказывается компенсатором f(l,t) относи-о
тельно %Гt-§ П.2
2. Уравнение для плотности инвариантной меры имеет такой
1 d Г dp , 1 dp
вид: Т ~di ~dy ~ УР] = ’ 0ТКУда а ~d^ ~ ЬУР = cons t, Р (у) — еЬу ^ e~bylH2а> dy + Z)J. Неопределенный интеграл
379
при а > О, Ь < О не огран ичен ни сверху, ни снизу, поэтому из положительности меры вытекает С = 0. Отсюда р(у) = Debyl^2a\ т.е.
