Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
что при решении задачи 4.
§ 10.1
1. Элементарно.
3*, 4*, 5*. Решения не приводятся; что касается задачи 4, см. доказательство теоремы 1 § 11.2.
6. Продолжим произвольную функцию /, заданную на [0, °°),
четным образом на левую полупрямую, положив ?(¦*)=/(|*|), х е /?*. Легко проверить, что полугруппа Р‘, связанная с вине-ровскими процессами с отражением, задается формулой
P*f (х) = P*f (х), где Pt — полугруппа, связанная с семейством обычных винеровских процессов на (—оо, оо). Если /е
00)¦ /'(0+) = 0, то f е= CflBR (— оо, оо), откуда
вытекает, что определено Af (х) = lim (P*f (х) — f (х)) =
ti о
= Umf~I(Ptf(x) — f(x))=-Lf"(x)^-^f"(x) при *е=[0, оо). <4-0 2. 2.
Аналогично для процесса с остановкой в нуле; полагаем f°(x) = f(x) при x^StO, /° (дс) = 2/ (0) — f (— дс) при х<0; полугруппа, связанная с задается формулой Potf (х) = Р*f° (х);
для f е С™вн [0, оо), f" (0 +) = 0 функция /° <= С® вн (— оо, оо),
откуда все следует.
374
7. Необходимость ясна; достаточность: Р* 1 = Р01 -Ь
t
+ ^P^lrfs = l.
о
§ >0.2
2. Для feB требуется доказать, что PhR\f->R\f прн й|0. Имеем
e~XsPsfds-^ e~XsPsf ds. h 0
oo
Добавим и вычтем ^ e~ksPsf ds; h
II PhRxf-f\\<(eXh~ l)
получим
ОО ft
[ e~XsPsfds + \ e~ksPsfds <
J J
h 0
<(elA — 1)я 1 ll/ll +A||/||->0 (Л i0).
3. Выберем 6 > 0 так, чтобы || P'f — f [| < e/2 при t 6; тогда
в
яr 11
Ь о
e~u [P*f~f]dt <Я J e-M\\p*f-f\\dt +
0
oo
+ Я ^ e~u II P*f - / II dt < e/2 + e~M - 2 ||/||.
При достаточно больших Я это будет меньше е.
4. В0 э R^B э R^Bq; RkBQ всюду плотно в BQ, a R^B — и подавно.
5. Что — ^"равн’ мы Уже выяснили (задача 4 § 10.1); нужно доказать, что DA s СраВН. Прежде всего любая функция, задаваемая формулой (3), равномерно непрерывна, потому что
-^Г ?*/(*)= \ е ^2Я|1/ *1 sgn (у — х) { (у) dy,
и эта производная ограничена по норме константой л/2/Я || / II. Отсюда Во Е Сравн (см. предыдущую задачу). Для непрерывной
375
ограниченной f получаем далее
Г х °° "1
= lk - S e4^{X'y)f(.y)dy+ \ =
L —oo X -J
oo
= -2/(х) + л/2Я ^ e-V»l»-*l f(y)dy.
— OO
Любая функция F^D. представляется в виде RJ, /еВfl^C
'С F (
^равн’ 1
Г(2)
^равн*
откуда F" = XF — ft
7. Ясно, что 1 ейл, Л1 =0. Далее, в пространстве С[0, 1] всюду плотно множество С(2) [0, 1]; докажем, что в этом множестве всюду плотна область определения ?>л=С(г>[0, 1]П {/:
/'(0+) = /'(1—) = 0}. Существует функция Л е С(!,[0, оо), лежащая между точками 0 и 1, равная тождественно единице в какой-то окрестности точки О и нулю вне некоторой большей окрестности точки 0. Пусть f е С<2>[0, 1]; «исправим» эту функцию, положив fB(x)=f(x)—[/(х) — -f(0)]h(xle) - {f(x)-f(l)]h((l-
— х)/е). Эта дважды непрерывно дифференцируемая функция близка к /, а в некоторых окрестностях точек 0 и 1 обращается в константу (рис. 42).
Выведем принцип максимума. Если f(x) максимально во внутренней точке отрезка, то в точке максимума /' = 0, /" ==С 0,
Л/ = —/"^0. Произвольная функция из С(2)[0, 1] может
принимать максимум в граничной точке и при этом иметь положительную вторую производную; например, f(x) = х + хг. Но от функций из Da требуется /'(0) = /'(1) =0; поэтому, скажем, вблизи точки 1 имеем f(x)=f(l)+(x—1)2/"(1)/2 + о((х—I)2),, и если бы /"(1) >0, то в окрестности точки 1 было бы f(x) >
Докажем, наконец, существование решения уравнения
XF — AF = /, т. е. уравнения ЯF
¦ F” = f с граничными усло-
виями f'(0) = F'(l) = 0, для любого /еС. Какое-то решение
уравнения ЯF ¦
¦ F" = /, конечно, существует, но сно не удо-
влетворяет граничным условиям. Обозначим произвольное решение этого уравнения через F и будем искать F в виде F плюс
1 „
решение соответствующего однородного уравнения Ag----------jf =
= 0. Обозначим через gi, g2 любые два линейно независимых решения однородного уравнения. Мы хотим найти функцию
