Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Omn = tin а/cos о = tin VI/k sin 2о , (103.04)
и для того чтобы при отражении от зеркала пучок Гаусса — Лагерра с ,индексами тип воспроизводился с малым искажением, нужно, чтобы радиус зеркала a был больше радиуса внешней каустики атп. Условие a~>amn обеспечивает весьма малое (экспоненциально малое) радиационное затухание собственных колебаний, их собственные частоты определяются соотношением
kl = qn + 2(m + 2n+\)a, т, п = 0, 1, 2, ... , (103.05)
аналогичным соотношениям (101.04) и (102.21). Однако здесь частлы получились вещественными вследствие того, что дифракция на краях зеркал не учтена, т. е. не рассмотрено «расплескивание» волнового 'пучка при его отражении от зеркала.
Но условие a>amn может выполняться лишь для конечного числа пучков; для остальных пучков a<.amn, они ограничены не
'416
Рис. 134. Лучи и каустики между вогнутыми зеркалами (а) и в средней плоскости бочкообразного резонатора (б) каустиками, а краями зеркал, не похожи на гауссовы пучки и имеют существенно большее радиационное затухание. Спектр, изображенный на рис. 131,6, соответствует случаю, когда при данном q только два колебания ограничены каустическими поверхностями. _ _
Формула (103.04) показывает, что при <7-й) и а->-я/2 радиус внешней каустики неограниченно увеличивается. Как видно из формулы (103.03), при а=0 имеем 52= оо (плоские зеркала), а при а=я/2 получаем 52=//2 (концентрические зеркала); в таких открытых резонаторах каустики вообще образоваться не могут. Интересно отметить, что при замене о на я/2—о радиусы внешней и внутренней каустик не изменяются. Оказывается, что потери на излучение при этом тоже не изменяются.
При а=я/4 т. е. при 31 =1, радиус каустики минимален (при данных I, т и п). Такие зеркала называются софокусными или конфокальными. Смысл этого термина в том, что согласно элементарной геометрической оптике фокус сферического зеркала отстоит от зеркала на расстоянии 52/2 (там фокусируются параллельные лучи, падающие на зеркало), а при Я=1 фокусы противоположных зеркал совпадают (они находятся в центре симметрии). Можно думать, что софокусные зеркала обеспечивают наименьшее (радиационное затухание колебаний, поскольку при софо-кусных зеркалах каустическая поверхность, ограничивающая поле, всего дальше отстоит от краев зеркал. Фактически это не совсем так: при приближении к конфокальной геометрии радиационная добротность сначала возрастает, а потом резко падает. Большие радиационные потери, свойственные конфокальному резонатору, обусловлены многократным вырождением его собственных частот, так как соотношение (103.05) при а=я/4 принимает вид
и одно и то же значение kl получается при самых разных q, п и т. Поэтому самое малое возмущение связывает добротное колебание с другими, имеющими ту же частоту и большие потери на излучение. Применяя открытые резонаторы, стараются не подходить к этой «опасной геометрии» слишком близко, а также к некоторым другим (а=я/6 и а=я/3), у которых наблюдались аналогичные явления, хотя и в ослабленной форме.
Если зеркала имеют двоякую кривизну, т. е. задаются соотношениями
г = —112 + + уг\2Яь, г = 1/2—х2!2Яа—t/a/2j/?b, (103.07)
то колебания между такими зеркалами являются суперпозицией двух встречных пучков Гаусса — Эрмита, у которых
kl=[q + n + (m+ 1)/2] п
(103.06)
кф = vm) (Яа-щ, №=Vm) {яь—ц2),
(103.08) 417 Рис. 135. Колебания с круг-ж Ш ^ "Ял ло® симметрией:
~ & ^ ^ а — т~4, л-0; б —т-13, «=0;.
в — т= 1, п=2
і і <«»>
V O)
а переменные оа и сг& на втором зеркале (103.07) принимают значения
oa = arcsin УЦ2Яа, ab = aresin УЦ2.ЯЬ. (103.09)
Когда прямоугольная область (100.21) при оа=±оа и сь=±оь помещается на обоих зеркалах, собственные частоты резонатора определяются соотношением
kl = qn + (2m+\)oa + (2n+ 1) ob. (103.10)
Колебания с частотой (103.05) можно назвать колебаниями EWmnq и EWmnq с круговой симметрией, с частотой (103.10) — колебаниями EWmnq и EWmnq с прямоугольной симметрией.
На рис. 135 даны изображения колебаний в 'резонаторах с круглыми сферическими зеркалами: отчетливо видно, как при увеличении азимутального индекса т, определяющего число вариаций поля по азимуту <р, увеличивается радиус внутренней каустики в соответствии с формулой (100.22). Если сферические зеркала имеют небольшие отверстия вблизи оси z, то на распределение поля несимметричных колебаний они повлияют слабо (при радиусе отверстия, меньшем радиуса внутренней каустики),, а симметричные колебания испытывают сильное возмущение и приобретают заметные потери на излучение. Неограниченно увеличивая индекс т. и одновременно расширяя отверстия и наращивая периферийные части зеркал, в конце концов придем к полю, сосредоточенному вблизи
плоскости Z = 0, т. е. к бочкооб- ІІПМПНИНММІ разному резонатору (см. рис. •• • * ' • ' ' 1 1 • • ' • ' • • ••
# # VtIIIIII I I Ii і і і ф ф
130,6). При этом, разумеется, по- ................ ..«.
ле перестает быть параксиальным •• ..............- -•*¦
и гауссовым и превращается в ZZZ1 I I '. '. '. I I I 1ZZZ
