Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
W (х, I) = {[F (ц-Е + S)-F (-Ц-І + S)] ±
± [F (Ji-E-S)-F (—ц—Е—S)] } e-is!/2. (102.03)
Ясно, что в силу симметрии данной системы четность функций W(x, 0) и W(x, I) одинакова—обе они либо четные, либо нечетные функции х. Кроме того, при собственных колебаниях функции W(x, 0) и W(х, I) при \х\<а/2 должны отличаться только постоянным множителем. Задавая W(х, 0) в виде (102.01), точно добиться этого нельзя, однако в выражении ,(102.03) можно выделить слагаемое, пропорциональное W (х, 0) и выбрать параметр S та!к, чтобы минимизировать дополнительное слагаемое (невязку). Для этого положим
F(X)=I-F0 (т), F0 (т) = F (-T)= T е"'/2 dt, (102.04)
1/2я Tj
тогда
W (X, I) = [w (sl)—A (E)] е-Ь'/г, W (sE) = W (х, 0) = ± е-'*,
A (I) = [F0 6 + s) + F0 (ц + E-S)] е«< ± ± [F0 (ц—E-s) + Z70 (ц + E + S)] <Н*. (102.05)
15* 411 Невязку А (!) удается ,сделать малой при двух условиях: (при и Условие s<cl позволяет использовать соотношение
P0 + S) = F0 (х) — і Fo (T) (eisT— 1)/T, Fo (T) = — е^'/г-я/О/у^,
(102.06)
а условие — асимптотическое разложение
F0 (т)= —if; (т) (----L+ ..Л , т» 1. (102.07)
¦і F0 (0) sw' (Sli)-iF'0 (2ц)
Их вывод дан в задаче 6.
Используя соотношение (102.06), получаем
Л (I) = IF9 (K-S) + Fo (V + D) W (Si) - і F'0 (р-?) _
1
H + l
и на краю зеркала
A(fi) = [F0 (0) + ^0 (2fx)] w (S11)-
W (-Sjl)-W (ш)
2ІИ '
Если
w (sp) = — (T/2) sw' (sp) или
W = — (y/2)VTjkdW/dx при х = а, z = 0, (102.08)
где
у = —2iFo (O)IF0 (0)= ?(l + і), ?=2/j/n = 1,13, (102.09)
то навязка на краю зеркала порядка w (sp)/p~s/p. Невязка на середине зеркал (где р—I и ц + ? порядка р) имеет тот же порядок и не зависит от параметра у, который определяется, очевидно, диффракцией на краях зеркал. Невязку уменьшить по порядку величины не удается, но более аккуратное исследование поля у краев приводит к значению
y = ?(l + i), ?= 0,824, (102.10)
отличающемуся от (102.09).
Соотношения ,(102.08) определяют те значения s и sp, при которых с погрешностью порядка s/p~ 1/р2~ 1//а справедливо равенство
W(x, l) = W(x, 0)e-is!/2 при |*|<а/2; (102.11)
здесь /а=4p2 = ka2!l — число Френеля для данного резонатора. Ввиду приближенности соотношений (102.08) достаточно найти нужные значения s приближенно, полагая sp = mn/2 + 6, где т = = 1, З*-... при знаке плюс и т = 2, 4,... при знаке минус в выраже-
412 нии (102.01); пренебрегая величинами порядка S2 и выше, получаем o = ys/2, откуда
S = тлЦ2ц + у), Sfv = ka а = тлі2 (1 + y/VTa) (102.12)
и с точностью до постоянных множителей получаем
W(x, 0) = cos-T^L- (m= 1, 3, ...),
я (l+V/У/а)
W(XtO) = Sin ,.Txnyr,' (т = 2,4, ...). (102.13)
а (1 + уIV fa)
Заканчивая исследование двухмерного резонатора (зеркала при |л:| <а/2, 2 = 0 и /), видим, что волна, идущая в положительном направлении оси 2, приобретает при проходе от одного .зеркала к другому множитель ехр i(kl—s2/2), который (сім. конец § 101) должен быть равен ±1. Собственные частоты резонатора определяются формулой
ki = qn+—=qa +-—--(102.14)
2 (1 -ь V/V^)2
или в том же приближении
<102-16>
q — большое целое число. Структура этой формулы указана ранее [см. формулу (101.04) и рис. 131,а]. Комплексные частоты, вычисляемые по формуле (102.15), лежат на полу прямой, составляющей малый угол 2?/Vfa с вещественной осью и начинающейся в точке Oq = длс/1. Слагаемое в правой части (102.15), пропорциональное 1 Ifa, мало по сравнению с дл, еще меньше слагаемое, пропорциональное y/fa3/2, ответственное за диффракционные потери. Полагая 7 = 0, получаем выражение
< ал , тг я2 / , Г! Qft \2 , / тп \2 о
T + ^ A у (V) + (—) при і
ч .>«.
а
соответствующее собственным частотам закрытого двухмерного резонатора.
В трехмерном резонаторе с прямоугольными зеркалами |я|< <а/2, |у| <6/2 вследствие разделимости переменных х и у начальное распределение на одном зеркале
<*• 0) -сю ,(.+Tvb cos .(.+ТУР <"¦•"=3'
(102.16)
будет приближенно воспроизводиться на другом зеркале (на расстоянии I), давая начало колебанию, у которого
U = qn+ ^ { 1- -Щ + ^ f І- . (102.17)
4 2 fa \ Vfa / 2 h \ VTb 1
'413 При четном т или п косинус в формуле (102.16) заменяется синусом, а формула (102.17) остается без изменений; fb=kb2/l— второе (число Френеля.
Перейдем к резонатору с плоскими зеркалами круговой формы (0<r<a, Z=0 и I). Естественно думать, что начальное рас^ пределение
W (г, ф, 0) = Jm (gr) cos (т ф + ф0) (г < а) (102.18)
будет приближенно воспроизводиться при г<.а и z=l, если поперечное волновое число g будет находиться из соотношения
W=-(у 12) VTfkdWldr при г= а, или
Jm (ga) = - (У 12) VTk g J'm (ga), ' (102.19)
аналогичного соотношению (102.08), в виде
.(.;;vn •f-tJf ¦ ітщ
причем
Ы^дя+^L (I-=^L). (102.21)
где Vmn—n-й положительный корень уравнения Zrn(1V)=O (§ 42). При Y=O формула (102.21) согласуется с формулой (81.03) для собственных частот колебаний Emnq в цилиндрических резонаторах:
\а , { vmn \a qJL , V1mn
