Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Более уместно сопоставление бочкообразного резонатора с двухмерным резонатором, цилиндрические зеркала которого имеют радиус кривизны и. отстоят на расстоянии Z5t друг от друга. Согласно формулам (103/09) и (103.10) собственные частоты двухмерных (не зависящих от у) колебаний в такой системе определяются соотношением
kU = qn + (2m+l)a (sin a = "1//,/2.? ,), (103.15).
¦если расстояние между каустиками согласно формулам (100.21), и (103,08), равное
Дх = 2У(2т + і) ijksin2а, (103.16> меньше ширины зеркал. В бочкообразном резонаторе роль Zst играет расстояние 2bm, проходимое лучом, лежащим в средней, !Плоскости, между двумя отражениями, причем (см. рис. 134,6)
bm = a sin 0, am = m/k=acos 9, (103.17)
'420 где 0 — угол скольжения лучей (я/2—9 есть угол падения, равный углу отражения от поверхности r=a); cos 9=m/vmn для волн Emn, cos$=m/\imn для волн Hmn; для волн шепчущей галереи 9<СІ. Роль Я, играет величина Я/sin 9, поскольку при отражении от бочкообразной поверхности изменяется лишь радиальное направление луча, а азимутальное остается без HS1MeHeHHft. Волноеод со сферическими зеркалами (ем. рис. 1!30,г) по этой причине эквивалентен резонатору с зеркалами двойной кривизны.
Учитывая эти обстоятельства, легко понять соотношение для собственных частот колебаний Emnq:
ka = vmn+ (<?+ -yj a/sin 9 (л = 1,2, ... , ? = 0, 1. 2, ...) , (103.18)
sin a = Va/Зі sinO
и аналогичное для колебаний H mnq (1C заМЄНОИ Vmn На IXmn ; т — большое целое число). Соотношение (103Л8) можно переписать в виде
Ш т —Vrn п sin 9+ (2<7+1)а, (103.19)
откуда видно, что второе слагаемое в правой части (103,18) или (103.19) соответствует второму слагаемому в правой части (103.15), если учесть различие в Обозначениях. Соотношения (ІІОЗЛ8) и (103.19) применимы при условии, что расстояние между внешними каустиками
Az = 2 У (2g + 1) 2a sin 6/sin 2а (103.20)
меньше высоты резонатора I. Для корней уравнений (103.,13) имеются приближенные ,выражения
Г, 1T/ 1 \ 12/31
Vmn =т |1 + — Зя I л — — j /т\
[зя^я— Y)/m]2/3} ' (103.21)
которые можно вывести из рис. 134,6, но мы не будем на этом останавливаться.
§ 104*. ,Открытые резонаторы с комплексными гауссовыми пучками
Частотным спектром, изображенным на рис. 131,в, обладают так называемые неустойчивые открытые резонаторы при пренебрежении диффр акцией на краях зеркал. Резонаторы с вогнутыми зеркалами, !рассмотренные в § 103, называются устойчивыми: параксиальный луч между такими зеркалами ,в результате последовательных отражений от зеркал не уходит далеко от оси, оставаясь в пределах области, ограниченной внешней каустикой. Если же взять выпуклые зеркала, то параксиальный луч в результате последовательных отражений неограниченно удаляется от оси. Такой резонатор называется неустойчивым (поскольку луч, совпадающий с его осью, находится в неустойчивом равновесии).
Собственные частоты открытого резонатора с одинаковыми выпуклыми зеркалами (рис. 137,а), как оказывается, можно вы-
421 числить по формуле (103.05), если_ учесть, что в данном случае іЙ-<0 и величины а2, ctg а и sin а получаются по формулам (103.02) и (103.03) чисто мнимыми, a coso>l. Полагая
а2= і |а|2, а= —i|G|, sh |<т| = УЩЖ\, (104.01)
получаем
kl = qn — i2 (т + 2п + 1)|g|. (104.02)
Это соотношение, равно как исходное соотношение (103.05), не учитывает диффракции на краях зеркал (зеркала предполагаются как бы бесконечными). Сильное затухание колебаний вызвано тем, что поле каждого колебания растекается в поперечных направлениях, т. е. лучи удаляются от оси. Это явление передается при g=O множителем ехр (ir2/2\a\2). !Медленнее всех растекается простейшее колебание, у которого т = /г = 0, другие колебания растекаются быстрее и согласно соотношению (104.02) имеют большее затухание. _ _
Если положить а2=—і|а|2 и о=і|о|, то получим решение, соответствующее стеканию поля к оси z со всех сторон и его нарастанию в каждой точке пространства. Это решение само по себе физического смысла не имеет, но при учете диффракции «а краях зеркал должны, очевидно, образовываться отраженные волны такого типа, сходящиеся от периферии к оси z, благодаря чему затухание уменьшается, но все же остается значительным (точный расчет достаточно сложен).
Неустойчивый резонатор может быть образован не только выпуклыми зеркалами, но и вогнутыми зеркалами — при условии,
что их фокусы Fi и F2 расположены так, как изображено на рис. 137,6: в этом случае вогнутые зеркала осуществляют слишком сильную фокусировку лучей, что также приводит к неустойчивости. На рис. 137,6 фокусы Fi и F2 могут и совпадать — такой резонатор с софокусными зеркалами является неустойчивым, если радиусы кривизны зеркал различны. В § 103 был рассмотрен такой конфокальный резонатор, но с одинаковыми зеркалами, и было отмечено, что он неустойчив по отношению к самым слабым возмущениям. Оказывается, в частности, что при слегка различных кривизнах зеркал он уже пе-
I I
I F
Рис. 137. Неустойчивые резонаторы:
а — с выпуклыми зеркалами; б — с вогнутыми зеркалами — перефокусировка; в — телескопический.
