Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2ka*
Если связать функцию W с составляющей А х или А у электрического векторного потенциала (ом. § 100), то формулы (1102.16) и (102.17) будут определять ,колебания Et-xImnq или Eiy)mnq между прямоугольными зеркалами, а формулы (102.18) — (102.21) — колебания EWmnq или E^mnq между круглыми ЗЄрКЗ-лами; функции (102.16) и (102.18) дают распределение поверхностного тока на зеркалах (составляющей іх или iv). В литературе этим колебаниям часто дают малоинформативное название ТЕМ или квази-ТЕМ (с различными индексами).
Колебания между концентрическими зеркалами (см. рис. 129,6) подчиняются тем же закономерностям, в частности диф-фракционные потери такие же.
Соотношения, полученные выше, можно вывести иначе, переключив свое внимание с распространения волнового пучка вдоль оси z на процессы, происходящие в поперечных направлениях, т. е. на поперечную диффузию (§ 99). Удерживающее влияние краев зеркал на электромагнитное поле между ними проявляется уже в более простой двухмерной 'системе — в плоском волноводе, образованном двумя параллельными полуплоскостями (х>,0, Z=O и I). Рассмотрим диффр акцию одной нз волноводных волн, бегущей по направлению к открытому концу (X=O) волновода. Наибольший интерес представляет ко-
'414 эффициент отражения волны от открытого конца: когда по абсолютной величине этот коэффициент близок к единице, излучение в свободное пространство мало.
Оказывается, что сильное отражение происходит тогда, когда частота набегающей волны близка к ее критической частоте, т. е. когда она разлагается (см. § 44) на две плоские волны, распространяющиеся в направлениях, образующих малый угол а с положительной или отрицательной осью г. Коэффициент отражения такой волны то току согласно строгой теории получается при ?/»' 1 в виде
для любой поляризации; у определяется формулой (102.10). Это выражение позволяет сразу рассчитать собственные колебания двухмерного резонатора (задача 7), т. е. получить формулы (102.12), а затем перейти к трехмерным задачам. Применение выражения (102.22) дает приближенное решение, поскольку при отражении возникают также волны других номеров (с малыми амплитудами), которые не учитываются н дают невязку Л(?), введенную выше.
С сильным отражением вблизи критической частоты приходится иметь дело часто. Например, в § 56 было рассмотрено отражение волновюдных волн от плавного перехода волновод — секториальный рупор. Рисунок 61 показывает, что при малых углах раствора коэффициент отражения, вообще говоря, очень мал — практически равен нулю. Однако при стремлении частоты к критической причем R-+—1, еслн R— коэффициент отражения по току.
Для линий первой группы критическая частота равна нулю, поэтому близость к критической частоте означает просто низкие частоты. В § 35 было отмечено, что коэффициент отражения от открытого конца двухпроводной линии близок к единице, если расстояние .между проводами мало по сравнению с длиной волны (рис. 27). Пусть R—коэффициент отражения по току, тогда R-—1 для открытого (разомкнутого) конца, R=* 1 для закороченного конца. Поэтому в § 45 для приближенной оценки критических частот в полосковой линии на краях зазора между полоской и подложкой ставилось граничное условие Ht = 0, противоположное условию Et = O для идеально проводящей стенки.
Волноводные волны высоких номеров (9^>!1), представляющие интерес для ввазиоптики, подчиняются тем же закономерностям.
§ 103. Колебания, ограниченные каустиками
Зададим сферические зеркала 'круговой формы (рис. 130,а) соотношениями
справедливыми в параксиальном приближении; здесь a — радиус зеркал; 91 — радиус кривизны зеркал; I — расстояние между ними по оси z. Открытый резонатор с такими зеркалами обладает симметрией вращения. Поэтому естественно искать его собственные колебания в виде суперпозиции двух волновых ,пучков Гаусса — Лагерра, переходящих друг в друга при отражении от зеркал., а для этого прежде всего необходимо, чтобы поверхность
(102.22)
О < г с a, Z = — 1/2 + га/2 Я, г = 1/2—г3/2 Я,
(103.01)
'415 зеркала совпала с одной из поверхностей равной фазы: тогда пучок, распространяющийся в положительном направлении оси z и целиком укладывающийся (об этом ниже) на верхнем зеркале, преобразуется в точно такой же пучок, распространяющийся к нижнему зеркалу. С точки зрения геометрической оптики колебание в таком резонаторе — это два потока лучей, ограниченных каустической поверхностью (рис. 134). Формула (100.25) связывает радиус кривизны фазового фіроінта с параметром а гауссова пучка и расстоянием от плоскости а=0, где фазовый фронт выпрямляется и диаметр пучка наименьший; плоскость ст = 0 в данной системе соответствует средней плоскости Z = O, и формула (100.25) связывает 52, If2 и а так:
M = (/2/4 + k2 а4)/(//2), ka2 = V(112) {Я —1/2), (103.02)
тем самым определяется параметр а. Обозначая через о значение переменной ст на верхнем зеркале, будем иметь
ctg G = 2ka2/l = У2Я/1— 1, Sina= УТЩя, cos о= Vl-Ц2Я,
(103.03)
поэтому гауссовы ,пучки будут воспроизводиться, отражаясь от зеркала, только при условии &>1/2. Кроме того, надо учесть, что согласно формуле (100.22) поперечные размеры пучка тем больше, чем больше индексы тип: радиус внешней каустики на зеркале
