Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рисунок 131 позволяет разобраться в резонансных свойствах соответствующих резонаторов. Если расстояние между соседними точками (комплексными частотами) по вещественной оси существенно больше, чем их расстояние до этой оси, то их резонансные кривые не перекрываются и колебания можно возбудить по отдельности. В противном случае соседние колебания возбуждаются совместно и образуют нерезонансный фон. Спектры собственных частот, изображенные на рис. 131,а и б, приводят к резонансной кривой на рис. 132: в диапазоне (o9<co<cu9-m первое колебание возбуждается с большой амплитудой, второе — с меньшей, все остальные — нерезонансный фон, на создание которого тратится определенная мощность (см. § 105). Если комплексные частоты лежат на прямых, образующих с вещественной осью конечный угол і]з (как на рис. 131,в), то резонансное возбуждение одного колебания сторонними источниками практически не осуществимо.
В дальнейшем основное внимание будет уделено открытым резонаторам. Это объясняется прежде всего тем, что открытые резонаторы имеют более широкое применение, чем открытые волноводы с линзами или зеркалами; по существу, на волнах порядка 1 мм и более коротких у открытых резонаторов среди колебательных систем нет конкурентов. Кроме того, расчет открытого волновода нетрудно свести к расчету соответствующего открытого резонатора и наоборот; это обстоя-15—240
<"q Ы
Рис. 132. Резонансная кривая открытого резонатора (схематически)
'409
тельство для закрытых систем уг, было отмечено в § 81 и 91. O) Возьмем, например, линзо-
вый волновод, один период KO-? торого (длиной I) дан на рис. I 133,а. Поле собственной волны ?) Ib таком периодическом волноводе на каждом периоде при-Рис. 133. Связь между теорией откры- обретает множитель elW (см. того волновода (а) и открытых резо- § 65), ЄСЛИ волна бежит В ПО-наторов (б, в) ложительном направлении оси
г, причем.Irm h~>§ из-за потерь на излучение (потерями на отражение от линз и на поглощение в них пренебрегаем). Перейдем теперь к открытому резонатору, образованному половинками таких же линз на идеально отражающих плоских зеркалах (рис. 133,6; поглощающие экраны теперь роли не играют). В резонаторе волна, попавшая на правую полулинзу, отражается и распространяется к левой полулинзе по тем же законам, по которым в волноводе она распространяется к следующей полулинзе, т. е. ее поле приобретает еще один множитель е"1'. Пройдя левую полулинзу, волна вместе с первоначальной волной должна удовлетворить граничному условию на зеркале, а это приводит к условиям
Qi2hl = l,sinW=0, hl = qn, (101.03)
где q — целое число.
Квазиоптические устройства, как правило, вытянуты вдоль оси г, большую часть пути параксиальный волновой пучок проходит в пустоте, поэтому httk или, точнее, hl = kl—%, где Ixl и 1шх<0. Отсюда, если волновое число h известно, получаем соотношение
kl = q п + х, (.101.04)
позволяющее вычислить собственную частоту резонатора. Наоборот, если последняя найдена в виде (101.04), то нетрудно вычислить величину hl для волновода.
Открытый резонатор на рис. 1133,6 имеет лишь теоретическое значение. С практической точки зрения полулинзы следует заменить зеркалами, имеющими то же фокусное расстояние и обеспечивающими тот же фазовый набег по оси z (рис. 133,е).
При анализе открытого резонатора с идеальными зеркалами достаточно рассмотреть только волну, распространяющуюся вдоль оси Z (без встречной волны), и наложить на нее условие еш=±1, эквивалентное условиям (101.03). Если же учитывать неидеальность зеркал, то это условие принимает вид
tfeift<=± 1, (101.05)
где R — коэффициент отражения от зеркала (Rzzlr |i?|<il).
Тогда формула (101.04) принимает вид
kl = qn + x- 2i? (101,06)
'410 (см. задачу 5); здесь ? — волновой импеданс зеркал, введенный в § 25. В дальнейшем зеркала будут предполагаться идеальными.
Из сказанного выше следует, что в теории квазиоптических устройств основное внимание сосредоточивается на сравнительно небольшом числе колебаний и волн, имеющих малое затухание; только они представляют практический интерес. Это обстоятельство выражают словами: вследствие потерь на излучение происходит разрежение спектра собственных колебаний и волн (или, кратко, селекция мод).
§ 102. Колебания между плоскопараллельными зеркалами
Рассмотрим колебания в открытом резонаторе с плоскими зеркалами прямоугольной формы (рис. 129,а), лежащими в плоскостях 2=0 'И z=l, при |л:| <.а/2 и \у\ <6/2. Будем вести расчет в рамках параболического уравнения (99.02), допускающего разделение переменных X YL у (§ 99), вследствие чего достаточно решить двухмерную задачу и найти сначала функцию W(х, z). Зададим функцию W(x, 0) в виде
W (х, 0) = eikax ± |а|< 1; (102.01)
она дает распределение тока на одном из зеркал, пропорциональное cos kax или sin kax. Найдем функцию W(x, І) на втором зеркале с помощью формул (99.06) и (99.08). Используя интеграл Френеля ,(99.11) и безразмерные величины
ц= -у Vffifl, E = Vkflx, S=Vkla, si = kax, (102.02)
можно записать W(x, I) в виде
