Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
стоячую или бегущую «волну ................—
шепчущей галереи» — в волновой ZZZ '.I'.'.'.'.'.'.'.'.'.'. Z ZZZ
пучок, распространяющийся в ...................
азимутальном направлении вбли- ZZ • • * * і і 1 і і І і і » * IZZ зи стенки резонатора, или в супер- •••»ііііііі» п і •• аппозицию двух встречных пучков •••»•!#!¦•»•!¦».«¦»*¦•••>
такого типа. Колебания в бочко- n 1QC „ ,
, Рис. 136. Колебания с прямо-
образном резонаторе ограничены угоЛьной симметрией : т=18,
тремя каустическими поверхно- л= 14
'418 стями: двумя внешними (2=const) и одной внутренней (г=const, см. рис. 134,6).
На рис. 136 приведена картина колебания, имеющего прямоугольную симметрию. Такие колебания могут возникать не только из-за астигматизма зеркал (9іаф9іь), «о и при других нарушениях симметрии вращения.
Распространение волн в открытом волноводе, образованном периодически расположенными одинаковыми линзами, можно уподобить развитию во времени іколебаний в открытом резонаторе. Математическая связь между собственными волнами в волноводе и собственными колебаниями в резонаторе была установлена в конце § 101, причем предполагалось, что линзы (в волноводе) и зеркала (в резонаторе) осуществляют одинаковую фазовую корректировку.
Что это значит? Линзы преломляют лучи, зеркала — отражают. Однако если отвлечься от направления лучей и волн, линза и зеркало одинаково преобразуют падающую волну (в параксиальном приближении), если их поперечные размеры и фокусные расстояния одинаковы. Как уже отмечалось, фокусное расстояние зеркала f=32/2, а фокусное расстояние тонкой линзы
(91— радиус кривизны зеркала; 91\ и — радиусы кривизны линзы, V — ее показатель преломления). При равенстве этих величин зеркало и линза одинаково преобразуют падающее поле, по крайней мере, при тождественности коэффициента отражения от зеркала и коэффициента прохождения через линзу (идеально отражающему зеркалу соответствует идеально просветленная линза). По заданной кривизне зеркал можно вычислить их фокусное расстояние, а по нему в соответствии с формулой (103.11) подобрать параметры эквивалентной линзы волновода, т. е. построить соответствующую пару резонатор—линзовый волновод. Можно делать и наоборот: по фокусному раїсстоянию линзы найти кривизну зеркал резонатора, затем вычислить характеристики волновода.
Следует заметить, что введенные выше обозначения для колебаний между плоскими и вогнутыми зеркалами не совсем согласованы. Например, колебание №mn, между сферическими зеркалами круговой формы при уменьшении кривизны зеркал переходит в колебание ?'ж'т,п+і,д между ,плоскими зеркалами той же формы, а колебание EWmnq с прямоугольной симметрией (рис. 136) — в колебание Е№т+и n+1,g между плоскими прямоугольными зеркалами.
Волны шепчущей галереи, бегущие в азимутальном направлении но внутренней поверхности идеально проводящего кругового цилиндра г=а, определяются в цилиндрической системе координат составляющими электрического или магнитного вектора Герца
/ =
(103.11)
{v-lHAi + A,)
Пе2 = Jm (kr) e±imcp, Il^-Jm (kr) e±imtp
(103.12 > 419 где Jm (kr)—функция Бєосєля (§ 22).; стоячие водны шепчущей галереи получаются заменой экспоненты на cos /пер или sin mcp. Эти двухмерные волны должны удовлетворять соотношениям
Jm(ka) =0 или J'm(ka)= 0, (.103.13)
Т. е. ka = Vmn ДЛЯ (ВОЛН Em п и ka=nmn ДЛЯ ВОЛН Hmn (ом. § 42); с точки зрения теории волноводов соотношения (103.12) соответствуют ПОЛЮ ВОЛНЫ Emn или Hmn при критической частоте, когда /г=0 и поле от координаты z не зависит.
Волны шепчущей галереи реализуются при больших значениях т (т~> >Аа»1) и небольших значениях п (я = 1,2,...), их поле в основном расположено в кольце mjk<.r<_av. лриудаленни от окружности радиуса am = mlk по направлению к осн г экспоненциально убывает. Действительно, функция ZmI(Ar) удовлетворяет уравнению (22.03) и имеет осциллирующий характер в указан^ ном кольце, как это следует из сказанного после формулы (100.20), а при увеличении разности ат—г монотонно убывает, так как Jm(kr)->-0 при kr->-0. В. кольце ат<.г<.а поле волны представляется в виде потока лучей, отражающихся от окружности r=? и касающихся окружности Г — — внутренней каустики.
Переходя к трехмерным ,полям, следует отметить, что в цилиндре конечной длины, открытом с обоих концов, существуют колебания Emnq и Hmnq, УДЄр_ живаемые краями цилиндра. Более добротные колебания будут в бочкообразном резонаторе (см. рис. 130,6), который можно рассматривать как цилиндр, слегка сужающийся к концам по закону
a(z) =о—z2/&, —//2<z<//2, (103.14)
где a(z)—радиус резонатора в поперечном сечении z; а—радиус при Z = 0; Я — радиус кривизны меридионального сечения. Удерживающее влияние кривизны сказывается в том, что луч, составляющий малый угол с плоскостью Z=Const, при отражении от внутренней поверхности бочки возвращается к средней плоскости z=0, совершая колебания — такие же, какие между сферическими зеркалами совершают параксиальные лучи; образуются внешние каустические поверхности, препятствующие изучению из открытых концов Z = H 2 и Z=—1/2.
