Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, экран в рассматриваемом приближении может быть любым: полуплоскостью, клином (любых свойств, но непрозрачным) или иметь любую другую форму — лишь бы он затенял левое полупространство х<0, оставляя свободной только положительную часть оси X.
Если нужно исследовать отраженное поле, возникающее пр» падении плоской волны на идеально отражающее зеркало z = Or *<0 (рис. 128,6), то, очевидно, следует поступать следующим образом: поле прошедшей волны описывать в системе координат z'r х', считая, что затеняющий экран расположен при х'СО, а поле
397 ©траженной волны исследовать в системе координат z", х", где z" — направление отраженных лучей. Если рассматривать только отраженную волну, точнее, только вторичное поле в нижнем полупространстве 2<0, то применимы соотношения, аналогичные выведенным выше для прошедшей волны. Действительно, для отраженной волны источники расположены только на зеркале (при х<0), на его продолжении (при х>0) их нет, поэтому реализуются такие же диффракционные закономерности, в частности получается параболическая зона полутени.
Переходя к трехмерным задачам, следует прежде всего отметить, что уравнение (99.02) допускает своеобразное разделение переменных: если W,(x, z) и W2 (у, z) — решения двухмерных параболических уравнений, то W(х, у, z) = Wi(x, z)W2(y, z) — решение трехмерного параболического уравнения (99.02). Поэтому сферическая волна, расходящаяся от начала координат, согласно параболическому уравнению (99.02) определяется произведением
vtехр Ir) Wехр [ik^yiехр (ik Чг
а функция Грина есть просто произведение G (х—х', z)G(y—у', z), где G определяется формулой (99.06).
Эта функция Грина позволяет, например, решить задачу о диффракции плоской волны на прямоугольном отверстии, рассмотренную в § 95. Ограничиваясь для простоты нормальным падением волны, полагаем E0v = B при условиях (95.01) и выражаем диффракционное поле при 2>0 через единственную составляющую магнитного векторного потенциала (см. конец § 96), которую записываем в виде
A™ = W (х, у, z) elfe. (99.12)
Используя выражения (92.09) и слабую зависимость W от z, получаем поперечные составляющие поля в виде
Ey=-Hx=—ikW (х, у, z) е^. (99.13)
Функция W должна удовлетворять уравнению (99.02) и при Z = O принимать постоянное значение iB/k на отверстии, а вне его обращаться при г = 0 в нуль. Отсюда заключаем, что
W (х, у, г) = (iBlk) "і G (х—х', z) dx' f G (у-у', z)dy'. (99.14)
—а/2 —6/2
Вводя интеграл Френеля (99.11), приходим к выражению
W (X, у, Z) = (iB/k) [F (4)-F (? )] [F (тt)-F (ч )], (99.15)
¦vt=VWz(al2—х), T- = VWz (—а/2—X),
Tt = VWz (b/2-y), C = VWz (-Ы2-у).
'398 Для того чтобы выяснить физический смысл выражения (99.15), образуем разности т+а—т"а= Vfa, т+б—т~ь = Vfb, где параметры fa = ka?/z, fb = kb2/z (99.16)
называются числами Френеля. Пока числа Френеля велики (т. е. координата г достаточно мала), поле (99.13) представляет собой вышедший из отверстия прямоугольный кусок плоской волны, края которого размыты (узкие переходные зоны), подобно краю плоской волны на рис. 128,а. Действительно, в прямоугольнике |х|< <а/2, \у\<Ь/2 при малых г параметры х+а и т+ь велики и положительны, тта и 1~ъ — велики и отрицательны, поэтому разности в квадратных скобках близки к единице; вне прямоугольника хотя бы одна разность мала. По мере увеличения 2 переходные зоны расширяются и при /а~ 1 и от первоначальной плос-
кой волны не остается и следа.
Числа Френеля становятся малыми на больших расстояниях от отверстия. Тогда в интеграле
(х — х')*
а/2
I ехр
—а/2
ik
dx' =
( ., X2 \ а/„2 ! х"2 — 2хх' \ , ,
= expI1^Ji2 «Р
a^ ( х'2 — 2хх'
-а/2
можно пренебречь квадратичным слагаемым ikx'2/2z в экспоненте и то же сделать в интеграле по у'. Таким путем приходим к формуле
X2+ у2
ехр
Ey= — Hx = — IkabB
ik (г +
2г / sin X sin Y
2яг X У
x=kax Y=kby {9917
2г 2г '
которую поучительно сравнить с формулами (95.09) при A0 = O. Последние на первый взгляд кажутся более точными, но на самом деле они точны лишь при малых углах диффракции (при €^1). а тогда они дают практически то же, что и формула (99.17).
Исследованное выше поле представляет собой параксиальный волновой пучок, а при /а>І1 и 1 — квазиплоскую волну. (Под параксиальным пучком понимают поле, характеризуемое малыми углами диффракции и, следовательно, подчиняющееся параболическому уравнению. Плоская волна, падающая на широкое отверстие (ka^$> 1, kb^$> 1), создает именно такое поле; при этом поле в дальней зоне (его диаграмма направленности имеет много боковых лепестков) не похоже на поле в ближней зоне (равномерное в пределах отверстия). Поставим вопрос: существуют ли автомодельные (в рамках параболического уравнения) пучки, которые в ближней, промежуточной и дальней зонах определяются одними й теми же функциями, причем в ближней зоне они имеют харак-
'399 тер плоской волны, переносящей конечную мощность, а в дальней зоне, развернувшись, превращаются в сферическую волну? Положительным ответом на этот вопрос являются параксиальные гауссовы волновые пучки и их обобщения (пучки Гаусса — Эрмита и Гаусса — Лагерра), которые рассмотрены в следующем параграфе.
