Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Исследование диффракции Френеля производится обычно не с помощью общих формул § 92, а путем замены R (расстояние
'394 между вторичным источником и точкой наблюдения) выписанными членами разложения (93.05), причем слагаемым cos2 ?2, как правило, пренебрегают, поскольку интересуются малыми углами диффракции, для которых принцип Гюйгенса только и дает надежные результаты (§ 98). Такая формулировка диффракцион-ных законов может быть названа интегральной. Однако в электродинамике хорошо известно (гл. 1), что любой закон можно записать в двух эквивалентных формах: дифференциальной и интегральной. Дифференциальная формулировка диффракционных законов дается параболическим уравнением, предложенным М. A. JTe-онтовичем и В. А. Фоком применительно к распространению радиоволн. Затем метод параболического уравнения неоднократно использовался в теории диффракции для построения приближенных (асимптотических) решений — при условии, что длина волны мала по сравнению со всеми характерными размерами задачи, а угол диффракции мал (последнее условие иногда удается обойти) .
В простейшем случае параболическое уравнение получается так. Пусть имеется скалярное волновое поле Ф, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца (92.05) и представляющее собой волновой пучок с основным направлением распространения по оси z (такой пучок, в частности, возникает при диффракции плоской волны, распространяющейся по оси г, на широком отверстии). Положим Ф = W (х, у, z)eikz, где W — медленно изменяющаяся функция Z (по сравнению с выделенным быстро осциллирующим множителем eiftz). Функция W удовлетворяет уравнению
™ + ™ + =0. (99.01)
дх2 ду2 &2 дг
В этом уравнении отбрасывается производная d2W/dz2, и оно превращается в параболическое уравнение
+ (99 02)
дг 2k \ дх2 ду2 J '
подобное уравнению теплопроводности или диффузии, причем координата Z играет роль времени, а мнимая величина i/2k — роль коэффициента диффузии. Уравнение (99.02) решается значительно проще, чем исходное эллиптическое уравнение (99.01). Возможность перехода к уравнению (99.02) обусловлена тем, что W есть медленная функция г и поэтому удовлетворяет условию
« 2ik а*- или ** « (+ . (99.03)
дг2 дг дг2 \ дх2 ду2 )
Медленная зависимость W от z реализуется, как будет видно ниже, не при любых X, у, z, поэтому параболическое уравнение и полученные на основе его решения справедливы не всюду, но все же в большой и физически интересной области.
Второе условие !(99.03) означает, что зависимость W от поперечных координат X, у предполагается более сильной, чем от
'395 продольной координаты г. Иначе говоря, в параболическом уравнении (99.02) учтена только «поперечная диффузия» комплексной амплитуды W (диффузия поперек направления распространения плоской волны), а более слабая «продольная диффузия» (вдоль оси 2) не учитывается.
Уравнение (99.02) показывает, что поперечная диффузия тем слабее, чем больше волновое число k (т. е. чем короче длина волны), и тем сильнее, чем быстрее изменяется W в поперечных направлениях. При затенении падающей волны краем экрана поперечная диффузия сразу размывает резкую границу света и тени, в результате чего переходная зона (зона полутени) расширяется с увеличением координаты 2 (рис. 108,а).
Рассмотрим простейшие двухмерные решения уравнения (99.02), считая W функцией х и г. Решение
W = -I= exp (ik — Укг rV 2г
(99.04)
определяет, как легко видеть, цилиндрическую волну, расходящуюся от начала координат: 1 /Vkz — ее амплитуда; k(z+ + x2J2z) » k У Z2+X2 — ее фаза. Поскольку точная цилиндрическая волна пропорциональна #0(1)(^У Z2ArX2), условия применимости решения (99.04) имеют вид
кг > 1, \х\< г, kxVz3 < 1. (99.05)
Функция Грина двухмерного параболического уравнения (99.02)
(X — X')*
0(.-*-.*-]/?
ехр 1
k
2 Z
я
T
(99.06)
является цилиндрической волной, исходящей из точки X = X', Z = 0 и нормированной так, что
Iim G (х—х', z) = б (х—х').
z-»0
(99.07)
Рис. 128. Диффракция плоской волны на полубесконечном экране (а) и отражение плоской волны от полубесконечного зеркала (б)
'396 Функция G позволяет вычислить функцию W при zl>0, если она известна при 2 = 0, по формуле
W(x,z)= J G (х—х', г) W (х\ 0) dx', (99.08)
-OO
см. задачу 1.
Применим формулу (99.08) к задаче о диффракции плоской волны на полубесконечном непрозрачном экране, край которого совпадает с осью у (рис. 128,а). Задавая плоскую волну в виде Qo=eite и полагая
W (х, 0) = 0 при лг-С О, № (х, 0) = 1 при л; > 0, (90.09
получим
W (X,z) = F(T),T=VWX, (99.10)
где
іл/4 т
F (T) = ei/2/2 dt (99.11)
У 2л Joo
есть комплексный интеграл Френеля. Условия применимости решения (99.10) совпадают (см. задачу 2) с условиями (99.05).
Проанализируем выражение (99.10). Поскольку W зависит только от т= У kjzx, линии W=const совпадают с линиями т = C-= const, т. е. с линиями z=kx2JC2 в плоскости X, Z. Таким образом, линии т = С суть параболы, проходящие через начало координат и касающиеся оси х (см. рис. 128,а). Линии т=С>0 являются параболами в освещенном четвертьпространстве, а линии т = = С<0 являются параболами в четвертьпространстве, затененном-экраном. Выберем постоянную С порядка нескольких единиц (например, C = 3...5) и исключим область внутри этой параболы. Как показывают расчеты, правее исключенной области можно считать W= 1: туда падающая волна проникает практически целиком и без искажений. Левее области функция W оказывается практически равной нулю: туда электромагнитное поле не проникает. Это — область тени. В самой исключенной области, которую можно назвать зоной полутени, происходит переход от света к тени. В середине зоны, на оси z, имеем W= —.
