Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
С точки зрения автомодельных пучков сложный характер диффракции Френеля обусловлен тем, что при Z=O задается поле, которое возбуждает сразу много пучков, распространяющихся с немного отличающимися скоростями. Именно такое поле возникает при диффракции плоской волны на отверстии или при рассеянии плоской волны на пластинке (§ 96).
§ 100. Гауссовы волновые пучки
Простое решение двухмерного параболического уравнения (99.02) нетрудно получить, заменяя в цилиндрической волне (99.04) г на z—і ka2 и умножая ее на V —і ka2. Функция
W0(x,z)= л/-ехр
у г—ite2
ik
2 (г—і ka2)
при z = 0 сводится к гауссовой функции
(100.01)
W0 (X, 0) = ехр j , (100.02)
а при Z-VOO превращается в цилиндрическую волну
W0 <*, г) = у/ехр (ik ? - ^ (ЮО.ОЗ)
с гауссовой диаграммой направленности ехр(—k2a2x2/2z2). Это точное решение параболического уравнения является приближенным решением волнового уравнения при ?a> 1, т. е. когда диаграмма направленности достаточно узкая (§ 99).
Волновой пучок, определяемый функцией Wo, называется двухмерным гауссовым пучком. Гауссов пучок, равно как и его обобщение — пучки Гаусса — Эрмита, более удобно записать в безразмерных координатах g и аа, где
E = х/а, Ctgoa = ka2/z (0 < оа < я/2). (100.04)
Можно показать (см. задачу 3), что функция
WT
(х, г) = "Kcosоа Hm (і cos oa) ехр I — і [т + j оа
- -L cos Oae-ifVJ (100.05)
удовлетворяет двухмерному параболическому уравнению, если Hm(t) — полиномы Эрмита степени т., удовлетворяющие уравнению
Н" (f) = 21H' (t) — 2m H (t) ; (100.06)
'400 обычно полиномы Эрмита нормируют так, что H0 (0=1, H1 (t) = 2t, H2 (t) = 4/2 — 2,
#т+1 (0 = 2t Hm (і)-2т Hm^1 (t). (100.07)
При т = 0 формула (100.05) переходит в формулу (100.01). Выражение (100.02) применимо при аа»0, выражение (100.03) — при Oa ~ я/2; Ctgaa аналогичен числу Френеля fa (§ 99).
Функция (100.05) по определению дает двухмерный пучок Гаусса — Эрмита. Вводя безразмерные координаты т] и оь, где
ті = y/b, ctg оъ = kb2/z (0 < оь < я/2), (100.08)
можно ввести пучок Гаусса — Эрмита в плоскости у, z формулой Wn ІУ, z) = Kcoso6 Hn (ті cos Ob) ехр — і -у ) °ь~
--1J T)2 cosa6e~I(76J , (100.09)
аналогичной формуле (100.05). Трехмерный пучок Гаусса — Эрмита определяется ,произведением
Wmn (X, У, z) = Wm (X, z) Wrt (у, z), (100.10)
удовлетворяющим уравнению (99.02). Функция Woo дает трехмерный гауссов пучок.
Если а = Ь, то функция Woo зависит только от г2=х2+у2 и г. Такой гауссов пучок обладает симметрией вращения, но высшие пучки Гаусса — Эрмита имеют прямоугольную симметрию. Последнее обстоятельство делает пучки Гаусса — Эрмита неудобными в системах, обладающих симметрией вращения, и заставляет переходить к пучкам Гаусса — Лагерра, имеющим такую же симметрию и удовлетворяющим параболическому уравнению
dwM = J_ Zd1W^ + Wla)\ (100 П)
dz 2k \ дг2 г дг г2 J ' V • /
вытекающему из уравнения (99.02), если положить
W= WimHr, г) cos (тф + фо) (100.12)
где г, ф, г — цилиндрические координаты. Вводя безразмерные координаты , ,«І)
р = г/а, а=оа = оь = arc ctg (ka2/z) (0<о<л/2), (100.13)
нетрудно показать, что уравнение (100.11) имеет частные решения (см. задачу 3)
W^") (г, z) = cos о K^ (Р cos o)exp[-i(m + 2n+l)o-
— ~ р2 cosae-ia] , (100.14)
'401 где KnlraHi) — полином степени т+2п, связанный с полиномом Лагерра Ln(m) соотношением
К™ (Q = FLW(P) (100.15)
и удовлетворяющий дифференциальному уравнению
f2 К" (t) = (2f»—t) К' (0 + [т2—(2т + 4л) /( (/). (100.16)
Одна из возможных нормировок полиномов Ln(m) приводит к выражениям
/С<0т> (/) = tm , К[т» (0 = tm \t2—(m + 1)],
К(т) (/) = tm [р—2 (т + 2) t2 + (m + 1) (т + 2)], (100.17)
(i) = [t2~(т + 2п+\)} К™ (i) — п (т + п) K^1 (t).
Таким образом, при а = Ь в декартовых координатах построены пучки Гаусса — Эрмита, а в цилиндрических — пучки Гаусса — Лагерра, определяемые формулой (100.14). В частных случаях нетрудно показать, что одни пучки выражаются через другие (см. задачу 4). Это объясняется тем, что при оа = оь = о функция Wmn пропорциональна ехр[—i(m + n+l)o] и все пучки Гаусса — Эрмита, имеющие одну и ту же сумму индексов т + п и отличающиеся только распределением полей в поперечном сечении o= = const (Z=COnst), можно заменить своими линейными комбинациями, причем постоянные коэффициенты в этих комбинациях подобрать так, что получаются пучки Гаусса — Лагерра, имеющие ту же экспоненциальную зависимость от продольной координаты о.
Абсолютные величины экспонент в формулах (100.05) и (!100.14) равны соответственно
ехр (--E2COs2Oa^ и ехр ^--1-р2 COS2 о^.
Образуя функции
ym(t)= Hm(t)^n,t=l cosafl,
^(m) (t) = к(пт) (t) е-'2/2 ,/=р COS О, (100.18>
нетрудно показать, что они удовлетворяют уравнениям
d^ +(2т +1-^)^=0, at2
tj_ Lj^1J +[2(/л + 2л+ I)/2—t*—mVi2} гр(пт) = о ¦ (100.19) dt \ dt /
вытекающим из уравнений (100.06) и (1100.16). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решения уравнения
d* ^Jdt2+ q(t) гр=0 (100.20
