Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для наглядности показано, как зеркала отражают параллельные лучи (Л, Fi, F — фоку Cii)
'422 рестает быть устойчивым резонатором и превращается в неустойчивый.
Неустойчивый резонатор может -быть образован вогнутым и выпуклым зеркалом. Рисунок 137,в соответствует так называемому телескопическому резонатору, образованному двумя софо-кусными зеркалами — вогнутым и выпуклым. Пучок параллельных лучей, идущий слева направо, превращается выпуклым зеркалом в пучок лучей, расходящихся из мнимого фокуса F, которые при отражении от вогнутого зеркала превращаются опять в пучок параллельных лучей— более широкий, и поэтому лишь частично перехватываемый выпуклым зеркалом. Такой резонатор дает направленное излучение. Направленность обусловлена тем, что из всех колебаний самовозбуждается только колебание с индексами пг = п = 0, которое на выходе резонатора создает поле с плоским фазовым фронтом.
Следует отметить, что комплексные частоты резонаторов, изображенных на рис. 337,6 и в, уже расположены (!при пренебрежении диффр акцией на крае) не на вертикальных прямых, а на прямых, образующих острый угол -ф — 1 с положительной вещественной осью. Так, в ,случае резонатора с перефокусировкой, т. е. при $,<.1/2 (рис. '137,6), имеем
а2 = іIа12, а = л/2 — is, Chs = VWM (104.03)
и
kl = tq + m + 2n+l) п — і2(т + 2п + 1) s. (104.04)
При M= 1/2 возвращаемся к концентрическому резонатору, у которого s='0, но можно найти поправку к частоте, вызванную диффракцией на крае (в частности, затухание вследствие излучения, см. § 103).
Из ,предыдущего видно, что собственные колебания в неустойчивых резонаторах являются суперпозицией комплексных гауссовых лучков, а именно пучков с комплексным параметром а, т. е. с комплексной каустикой. Вопрос о практической применимости неустойчивых резонаторов на первый взгляд вызывает отрицательный ответ, поскольку резонансные кривые перекрываются и при обычном возбуждении (§ 101) резонансные свойства неустойчивого резонатора не проявляются. Тем не менее такой резонатор, заполненный активной средой или пронизываемый электронным пучком, способен к самовозбуждению. Генерация возникает на том колебании, у которого наименьшее затухание, с частотой, близкой к частоте этого колебания.
Предположим сначала, что зеркала расположены в однородной активной среде, у которой е'/=1ше<0 и р=1. Тогда из леммы § 21 или формул (84.01) и (84.04) следует, что комплексная частота и каждого колебания в данной системе связана с комп-
423 лексной частотой и такого же колебания между зеркалами в пус тоте соотношением
© = ю/j/e = (Re ?/УТё|) (1 — i/2 Q) e-«/s,
(104.05)
так что
Im со =
У\г\ \ 2 2Q/ 2"[/|е| \ Q I
(104.06)
где Q — добротность колебания в пустоте; б — угол потерь (§ 9). Если 6<0, то активная среда уменьшает затухание, а если 6< <—1/Q, то затухание сменяется нарастанием во времени. Иначе говоря, точки, изображающие комплексные частоты на рис. 131, под влиянием активной среды как бы всплывают и, поднявшись над вещественной осью, обеспечивают мягкое самовозбуждение системы.
Аналогичные закономерности наблюдаются и тогда, когда активная среда заполняет лишь часть объема между зеркалами. Если в резонатор введен электронный пучок и обеспечено эффективное взаимодействие электронов с данным колебанием, то происходит то же самое. Во всех случаях, как это видно уже из рис. 131,o, неустойчивые открытые резонаторы обеспечивают наибольшую избирательность колебаний ,по радиационному затуханию. Но наибольшая избирательность достигается наиболее дорогой ценой: потери на излучение в процессе генерации велики. В телескопическом резонаторе (рис. 137,в) излучение используется, формируя выходной световой пучок.
!Комплексные гауссовы пучки образуются также между зеркалами со сглаженным краем, а именно между зеркалами, коэффициент отражения от которых зависит от радиальной координаты г (расстояния от оси z) по закону Гаусса
где вещественный параметр с имеет омысл эффективного радиуса отражающих зеркал. Обычные зеркала с режим краем имеют R=,1 при 0<r<o и R=0 ори r>a и 'формируют обычные гауссовы пучки (при Cl Clmn > см. § 103); теперь же R есть плавно убывающая функция г, и поэтому гауссовы пучки получаются комплексными.
Нетрудно понять, почему выражение (104.07) для коэффициента отражения приводят к комплексным гауссовым пучкам, и вычислить параметры этих пучков. В § 103 и Ш4 рассмотрены зеркала, которые в параксиальном приближении задаются уравнениями z=const+A (г), где Л (г) =—г2/25? — прогиб зеркал, положительный для выпуклых зеркал (52С 0) я отрицательный для вогнутых (5?>0). Учитывая параксиальность ,волновых пучков в ,резонаторе, можно зеркала считать плоскими (z=const), но коэффициент отражения от них задать в виде
Я(г)=е ZifcAin, (104.08)
R(r) = e~r*/c\
(104.07)
'424 ¦поскольку, например, при SZ <0 выпуклость зеркал приводит к тому, что луч дважды проходит дополнительный путь А (г), приобретая лишнюю фазу 2kA(r). Если зеркала обладают как кривизной, так и коэффициентам отражения, распределенным по закону Гаусса, то эффективный коэффициент отіраіжения приобретает вид
