Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
На поверхности S2 имеем п = 1, а на поверхности Si вектор п направлен в противоположную сторону и n = —1; через 1 обозначен единичный вектор в направлении оси z. Поэтому соотношение (75.07) приводит к выводу, что интеграл
Js.,.= j ([Ei Hs,]-[Es, HJ} ldS, (75.08)
sx
взятый по любому поперечному сечению Sx (при Z = COnst), не зависит от г, так как этот интеграл для любых двух сечений Si и S2 имеет одно и то же значение.
Однако поле Es, Hs пропорционально el'vz, а поле Es-, Hs- пропорционально e,fts'z . Поэтому
Js, S' (Z) = Js, S- (0) еі('!^"г, (75.09)
откуда вытекает, что либо /s,s-=0, либо Zis- = —As.
При отсутствии вырождения, когда каждому волновому числу As соответствует только одна волна, условие As- = —As может иметь место только при s' = —S. Поэтому получается соотношение
Л.»'= 1 ([Es Hs,]-[Es, Hs]} IdS = O при SV=-S, (75.10)
5X
являющееся условием ортогональности собственных волн. Если есть вырождение, то кратные волны с одним и тем же волновым числом всегда могут быть подвергнуты дополнительной ортогона-лизации в смысле соотношения (75.10). Поэтому можно считать, что условие ортогональности (75.10), являющееся основой всего дальнейшего изложения, выполняется для всех волн волноводной системы.
Нормой s-й собственной волны будем называть величину
JVs = -f"/s,-s = f{[EsH^s]-lE_sHs]}ldS. (75.11)
4 л 4я J
Норма имеет размерность мощности и в ряде случаев (см. ниже) отличается лишь простым численным множителем от комплексной мощности, переносимой 5-й волной через поперечное сечение Z = 0.
Рассмотрим физический смысл полученных формул. Начнем с условия ортогональности (75.10). Если возьмем две волны с такими индексами S и s', что s'=?s И в'ф—S, Т. е. |s'| =Tfe |s|, то можем написать для них" два соотношения ортогональности:
J{[Es Hs,]-[Es- HJJldS = 0, f {[EfH_s,]—[E_s, Hs]) 1 dS = 0
(75.12)
или в координатной записи
{(Es, X Hs',у Es,у Hs>,х—Es- X Hs,у + Es>t у Hs,x) dS = 0,
J (75.13)
J (Es,X H—s'.у Es у Hs',X E_s',x Hs,у 4- E_S',y Hs.x) dS = 0.
302. Поля прямой волны (индекс s) и встречной волны (индекс —5) связаны соотношениями
EsAx, У. z) = ±Ea,x{x, у, —z), H—s,x(х, у, z)=+Hs,x{x, у, —z),
E-S,у(х, у, z) = ±Es^(x, у, —Z), Hs,у{х, у, z)=+HSiy{x, у, —г),
E-S1Z(X, у, z)=+Es,z(x, у, —Z), H-s,t{x, у, z) = ±Hs,z(x, у, —г),
(75.14)
которые легко вывести из уравнений поля в координатной записи (11.01). Действительно, с помощью составляющих поля Es, Hs, зависящих от 2 по закону ehsZ и удовлетворяющих уравнениям (1:1.01), образовать составляющие поля E_s, H_s по формулам (75.14), то, как легко проверить, получим новое решение уравнений поля, пропорциональное e~'hsZ и определяющее встречную волну с индексом —S.
Пользуясь соотношениями (75.14), легко приведем второе соотношение (75.12) к виду
f{[E,fM + [Es.H,]}ldS=0.
Комбинируя его с первым соотношением (75.12), получаем
j[Es H5'] IdS=O при |s|t4s'|. (75.15)
Физический смысл формулы (75J15) станет ясным, если вычислить колеблющуюся мощность, переносимую через поперечное сечение волновода Si полем
E= 2 CsEs, H = SCsHs (75.16)
— суперпозицией (суммой) волн, распространяющихся в волноводе в положительном направлении оси 2. Тогда
J [EH] IdS = 2 C^ -f- j [Es HsI 1 dS, (75.17)
8я J 8я J
т. е. колеблющаяся мощность, переносимая суммой волн через поперечное сечение волновода, равна сумме колеблющихся мощностей, переносимых каждой волной в отдельности: взаимная колеблющаяся мощность волн с индексами s и s' равна нулю.
Рассмотрим теперь физический смысл нормы Ns, определяемой формулой (75.11). Учитывая соотношения (75.14), имеем
JVs =+ ^[EsHs] IdS, (75.18)
где интегрирование производится по поперечному сечению 2 = 0. Легко видеть, что она отличается лишь множителем ±4 от колеблющейся мощности, переносимой s-й волной через поперечное сечение 2 = 0.
Для волн в идеальном волноводе, рассмотренных в § 41 и 42, ортогональность можно сформулировать так же, как равенство нулю комплексных мощностей различных волн, а норма пропорциональна комплексной мощности, переносимой волной (задача 1).
301 Однако при переходе к более сложным системам интерпретация полученных соотношений требует привлечения теоремы о колеблющейся мощности (см. § 7).
В иростых задачах математической физики, относящихся к одной скалярной функции \|з, условие ортогональности системы собственных функций і}-, формулируется в виде
Jifs (*) »|>s- (x)dx = 0 при S^S', (75.19)
а нормой собственной функции ij;s (х) называется величина
JV4 = Jl>2(*)d*, (75.20)
где символом X обозначена совокупность переменных, от которых зависят функции \1>S, а интегрирование производится по фиксированной области изменения этих переменных. В задаче об электромагнитных волнах в волноводе вместо одной функции Ifis фигурируют векторы Es и Hs, заданные на каждом поперечном сечении S1, поэтому вместо условия (75.19) получилось более сложное условие (75.10), а нцрма определяется формулой (75.11).
§ 76. Возбуждение волноводов
