Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(78.03)
и того обстоятельства, что в интеграле (78.02) dS = rd<pdz.
Если источники — электрические и магнитные токи — расположены при Гі<;г«</*2, то построение возбуждаемого ими поля производится так же, как в § 76, и окончательные формулы почти не отличаются от формул § 76. Они имеют вид
E= 2 (Cs Es + Cs E-
\ , 4л і
.)+ — ґЛ
1 со 4я
H=2(CSHS + C_S н_,) + ^ /fl
(78.04)
где
S Ns
j (je E_s—j1 ('-1,0
H-s)dV,
C-.= ^
8 Ns
j (JeE.-j»H,)dV,
(78.05)
(r,rt)
причем Cs=const, C_6 = 0 при r>r2, a Cs=0, C-, =Const при r<ri.
Полученные формулы без каких-либо принципиальных изменений переносятся на рупоры, рассмотренные в § 57: конический,
биконический, пирамидальный. При этом под Es, Hs надо понимать поле сферической волны, расходящейся в радиальном направлении и определяемой функцией Sv(^r) и ее производной, а под E_s, H-S поле стоячей сферической волны, в котором вместо Isv(Iir) используется функция (kr), введенная в § 23.
В задаче 5 рассчитан таким путем Рис. 104. Поверхность 5 в простейший случай возбуждения ко-формуле (78.01) нического рупора.
'314 Рис. 105. Задачи, решаемые в сферической системе координат:
а — рупор со сферической перегородкой; б — коиус со сферическим закругленней; в — сфера
Удаляя источники от вершины конуса, у которого у>л/2, нетрудно получить решение задачи о диффракции плоской волны на идеально проводящем конусе. Выведенные выше формулы могут быть также обобщены на системы, изображенные на рис. 105. Пусть внутри конического рупора при г = а имеется идеально проводящая сферическая перегородка (рис. 105,а), на которой должны выполняться граничные условия
?й=?ф=0 при г= а (78.06)
или
dU/dr = 0, V=O при г=а. (78.07)
Если электромагнитное поле занимает область а<г<оо, то выведенные выше формулы остаются в силе при замене
1Pv (ka)
(kr) Ipv (kr)--7- Sv (kr) для и,
% (kr) -V Tpv (kr)-
I4 (ka) ^v (ka) E. (ka)
Sv (kr) для V,
поскольку условия (78.07) удовлетворяются. Получаемые таким путем выражения при у>л/2 определяют диффракционное поле от конуса со сферическим закруглением (рис. 105,6). Если же в этих ряда индексы v и р, считать целыми (см. § 23), то они дадут диффракционное поле от сферы радиуса а (рис. 105,в).
Если электромагнитное поле занимает область 0<г<а, то выведенные выше формулы остаются в силе при замене
Sv (kr) -> Sv (kr)-
(ka)
ipv (kr) для U,
Sv (kr) -> Sv (kr) - (pv (kr) для V.
^v (ka)
Таким путем получаются выражения для поля, возбуждаемого диполем в коническом объемном резонаторе с идеально проводящими стенками, а при целых v и ц, — для поля внутри сферического
'315 резонатора. К этим задачам можно лодойти иначе (см. гл. XVI).
Заметим, что приведенные выше ряды не всегда позволяют производить расчеты: эти ряды иногда сходятся медленно, а их преобразование к выражениям, пригодным для вычислений, представляет собой самостоятельную задачу. Одна из таких задач будет решена в следующем параграфе.
§ 79 *. Диффракция на клине
Решим следующую двухмерную задачу. Пусть в свободном пространстве (в пустоте) находится идеально проводящий клин и параллельный его ребру источник P0 цилиндрической волны (рис. 106). Введем цилиндрическую систему координат так, чтобы ось г совпадала с ребром клина, а угол ф отсчитывался от первой грани и содержится в интервале О^ф^а, уравнение ф = а определяет вторую грань. Координаты источника Pо обозначим через Го, фо-
Рассмотрим возбуждение электромагнитного поля как нитью электрического тока /е, так и нитью магнитного тока Jm. В первом случае поле определяется составляющей Aez электрического векторного потенциала (см. § 17), удовлетворяющей уравнению
AAe + k2 Ae = — — (79.01)
z Ci
и граничному условию
Aez = 0 при ф=0 и Ф = а, (79.02)
поскольку Ez = ikAez. Во втором случае поле определяется составляющей Amz магнитного векторного потенциала, которая удовлетворяет уравнению
A Af + ft2 Af = — — jf (79.03)
Z Z с Z
и граничному условию
dAf/dф=0 при ф = 0 и ф = а, (79.04)
так как Er = —д Aflrdф, Hz = IkAf. (79.04)
Пользуясь обозначениями § 78 и задачи 5, введем функции
Us = HW (kr) sin vs ф, ?/_, = Jvs (kr) sin vs ф (S= 1, 2, ... ),
vs
K8 = Я*1' (kr) cos Vs ф, V_s = Jvs (kr) cos Vs Ф (s = 0, 1, 2, ...), (79.05)
yS
где Vs = snlа. Функции (79.05) удовлетворяют однородным уравнениям (79.01) и (79.03), функции Us и U-s — условию (79.02), функции Vs и Vs — условию (79.04). Они являются цилиндрическими волнами: Us и Vs — бегущие (расходящиеся) волны; U-s и V-S — стоячие волны, конечные при г = 0. 316 Рис. 106. Возбуждение области 0<Ф<а вне клина линейным источником (P0 — источник, P — точка наблюдения)
<р=а
Решение неоднородных уравнений (79.01) и (79.03) естественно искать в виде (см. § 78)
^ = SC8 Us при г >г0, А-г = 2 C_s Us при г <г0 (79.06)
и
Af = 2 Cs Vs при г > r0, Af = 2 C_s F_s при г <г0. (79.07) Коэффициенты Cs и C-S находятся из теоремы Грина
j (fAg-gAf) dS= j, (ff--g ds, (79.08)
