Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому нельзя ограничиваться исследованием свободных или собственных колебаний (волн) в данной системе, удовлетворяющих однородным уравнениям ,поля (без источников)
rot E' = ikpH', rotH'=—ікєЕ'. (75.01)
Необходимо исследовать также вынужденные электромагнитные колебания данной системы под действием источников поля. За-
'297 давая эти источники в виде сторонних электрических и магнитных токов с ,плотностями je и jm, следует решать неоднородные уравнения электромагнитного поля
rotE= —— jm, rotH= — ijUE + — f. (75.02)
с е
Оказывается, что задача о вынужденных колебаниях легко решается, если более простая задача о свободных колебаниях решена полностью и известна полная система решений однородных уравнений (75.01).
Рассмотрим электромагнитное поле в волноводе, понимая под волноводом любую передающую линию, электромагнитное поле которой занимает в каждом поперечном сечении 2 = Const конечную площадь (ось г направлена вдоль линии передачи). Например, если волновод образован идеально проводящей стенкой, то на ее !внутренней поверхности S0 имеет место граничное условие
[пЕ] =0 на S0 (75.03)
и все электромагнитное поле заключено внутри So. Если учитывать конечную проводимость стенки волновода, то на поверхности стенки S0 нужно ставить граничное условие Леонтовича
[пЕ] =—Цп[пН]] на S0, (75.04)
и электромагнитное поле слегка просачивается за пределы поверхности S0 на расстояния порядка толщины скин-слоя d. Здесь ? есть комплексный волновой импеданс металлической стенки; п — нормаль к поверхности S0, направленная внутрь металла [см. формулу (25.04)].
В случае металлической стенки можно выбрать цилиндрическую поверхность S0 иначе, а именно, проводя So внутри стенки на глубине, значительно превышающей толщину скин-слоя, получим приближенное условие
E = H = O на S0, (75.05)
выражающее тот факт, что все электромагнитное поле заключено внутри S0. Таким образом, условия (75.03) — (75.05) фиксируют то обстоятельство, что рассматривается линия закрытого типа, например обычный волновод или коаксиальная линия.
Будем считать волновод бесконечным и однородным по оси Zy так что проницаемости є и р, суть функции х и у, не зависящие от г (это относится как к веществам, заполняющим волновод, так и к материалу стенок)Г. Тогда частные решения уравнений (75.01) имеют зависимость от координаты z в виде eihz. Такие решения являются собственными волнами рассматриваемой системы. Предположим также, что подобно обычному волноводу рассматриваемый волновод (в более широком смысле этого слова) имеет дискретный спектр собственных волн. Иначе говоря, все волны в данном волноводе могут быть объединены в одну последовательность таким образом, что -волна с номером s имеет поле Es, Hs и волно-
'298 WWWW s\ WWWWWwww 44W4WX44
I S1
Z
п-е— —
чЧЧЧЧЧЧЧ*- ЧЧЧ ЧЧЧЧЧЧЧЧ W\ \ W ЛЧЧЧЧЧЧЧЧ
Sg
вое число hs, т. е. зависит от z S0
посредством множителя еЛ«г. Положительные индексы S (S= 1, 2, ...) имеют волны, распространяющиеся в направлении положительной оси z, точнее, имеющие Im Zis >0. Во избежание сомнений будем считать (как при доказательстве теоремы единст- Рис. ЮО. Поверхность S в формуле венности В § 10), ЧТО ВОЛНОВОД (75.07) имеет потери, так что незатухающие волны, для которых ImAs=O, ,в нем существовать не могут. Отрицательным индексом —5 (s>0) обозначаем такую же волну, что и с номером s, но распространяющуюся їв противоположно,м направлении; ее (волновое число h-s = —hs.
Общее решение уравнений (75.01) по предположению имеет
вид
E' = 2 (Cs Ee 4- C_s E_s), H' = 2 (C3 Hs + C_s H_s), (75.06)
где Cs и С-., — произвольные !постоянные, а !суммирование производится по всем положительным индексам s.
Отметим, что индекс S можно рассматривать как краткую запись группы других индексов. Так, например, в волноводах с идеально проводящими стенками и однородным заполнением индекс S или —S заменяет обычные символы Emn или Hmn и указание направления распространения волны.
Собственные волны любой линии передачи обладают весьма важным свойством ортогональности, которое легче всего вывести из леммы Лоренца в ее общей формулировке (73.04). Для этого возьмем в качестве поля Eb Hi поле ікакой-шгобудь іволньї с индексом s, а в качестве поля E2, H2 — поле другой волны с индексом s'. Эти поля не имеют источников, поэтому
сWEs HsO-IEs: Hs]} n dS = 0. (75.07)
S
Если взять поверхность 5 в виде двух поперечных сечений волновода Si и S2 и заключенной между ними части поверхности S0 (рис. 100), то интеграл по So обращается в нуль согласно условиям (75.03), (75.04) или (75.05), наложенных на поля обеих волн с индексами 5 и s'.
В самом деле,
{[Eg Hs'] — [Es' Hs]} n = [n Es] Hs—[п Es-] Hs,
так что при граничном условии (75.03) подынтегральная функция в формуле (75.07) обращается в нуль на So. То же будет и при граничном условии (75.04), поскольку
{[Е. Hs,]-IEs, Hs]} n = —С {[п [пН.1] H's — [n fnHs]]Hg} = = I UnH8I [пНИ- InHs] [пН,.]} = 0.
'299 При граничном условии (75.05) подынтегральная функция (75.07) также равна нулю на поверхности So.
