Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
f ([E1H2] - [E2 H1]) n dS = j (jt E2 - it E1 - ff H2 + j2m H1) dV,
s cv
(73.04)
где S —• поверхность, ограничивающая объем V, п — ее внешняя нормаль (см. рис. 1).
Частная формулир'овка леммы Лоренца получается, если в качестве объема V возьмем все бесконечное пространство, т. е. будем считать 5 бесконечно большой сферой. Принимая, как при доказательстве теоремы единственности в § :10, что все источники — электрические и магнитные токи — находятся в конечной области пространства, и считая, что на сфере S выполняются условия (10.06), получаем в левой части формулы (73.04) исчезающий интеграл. Поэтому лемма Лоренца для безграничного прост-
290 ранства, имеющего в каждой точке некоторые потери, принимает вид
j 01 E2-Jl E1 -]? H2 + if H1) dV = 0. (73.05)
В пределе это соотношение справедливо и для пространства без потерь.
Выведенная выше лемма Лоренца имеет многообразные применения. В этом параграфе ограничимся тем, что с ее помощью докажем теорему взаимности для элементарных электрических диполей.
Пусть имеются только сторонние электрические точки с плотностями jei и je2, а сторонние магнитные токи отсутствуют. Тогда формула (73.05) упрощается следующим образом:
JffiE8-Je2 E1JdV = O. (73.06)
Как известно, момент электрического диполя определяется с помощью соотношения P = el, где I есть векторное расстояние между зарядами —е и е. Колеблющемуся электрическому диполю соответствует переменный ток /, проходящий по отрезку 1 и равный J = deldt или / = —те. Отсюда видно, что Jl =—itop. К элементарному диполю переходим, полагая 1->0 и е-»-оо так, что величины р и Л остаются постоянными. Плотность тока je, соответствующая элементарному диполю, равна, очевидно, нулю всюду, за исключением точки, где расположен диполь. В этой точке плотность тока je бесконечна, причем интеграл по объему Vo, внутри которого находится эта точка, имеет конечное значение
J jedV = Jl = —іюр. (73.07)
Пусть теперь поле Ei, Hi возбуждено диполем рь находящимся в точке 1, а поле E2, H2 — диполем р2, расположенным в точке 2. Применим к этим полям лемму Лоренца в простейшей форме (73.06). Так как функции jei и je2 обращаются в нуль всюду, за исключением точек 1 и 2 соответственно, то
j Jf E2 dV = E2 (I)JjtdV = - і 0) P1 E2 (1), , (73 08) Ut Ei dV = E1 (2) UtdV = - і со p2 E1 (2), откуда
PiE2(I) =P2E1 (2), (73.09)
где через E2(I) обозначено значение электрического поля E2 в точке 1, где расположен диполь рь a Ei (2) есть значение поля Ej в точке 2, где находится второй диполь р2.
Если воспользоваться трехмерными б-функциями, то плотности тока, соответствующие элементарным диполям pi и р2, можно записать в виде
Ji= — І COp1 б (Г—rx), JJ= — Іюр2б(г—г2), (73.10)
Ю* 291 где Г] и r2 — радиусы-векторы точек J и 2 соответственно, г — текущий радиус-вектор с компонентами х, у, г. Пользуясь формулой (73.06) и известным свойством б-функции, опять приходим к формуле (73.09).
Соотношение (73.09) есть теорема взаимности для элементарных электрических диполей. Если ВЗЯТЬ ДЛЯ простоты моменты Pi и р2 по абсолютной величине равными единице, то левая часть соотношения (73.09) будет равна электрическому полю диполя р2, действующему на диполь pi, а правая часть — электрическому полю диполя рь действующему на диполь р2. При этом называем, например, проекцию вектора E2(I) на направление вектора pi полем, действующим на этот диполь, так как именно эта составляющая поля воздействует на диполь рь возбуждая ток в соответствующем отрезке проводника 1. Поэтому теорему взаимности (73.09) можно сформулировать более кратко следующим образом: при равенстве абсолютных величин дипольных моментов, действие диполя 2 на диполь 1 равно действию диполя 1 на диполь 2.
Приведем простой пример применения доказанной теоремы взаимности. Пусть диполь pi расположен в точке 1 вблизи земли (рис. 97), и нужно найти создаваемое им поле на большой высоте й точке 2, в которой находится приемная антенна самолетной радиоустановки. Полное вычисление электромагнитного поля антенны, расположенной у земной поверхности, является довольно сложной задачей. Однако требуемое поле в точке 2 легко найти, не решая этой задачи, а именно поставим в точке 2 вспомогательный излучающий диполь р2; так как он находится на большом расстоянии от точки 1, то излучаемую им сферическую волну можно в окрестности точки 1 считать плоской, а электромагнитное поле, возникающее при падении плоской волны на плоскую границу раздела двух сред, хорошо известно (см., например, § 15). По известному полю E2(I) легко определяется с помощью теоремы взаимности (73.09) искомое поле E1 (2).
В связи с этим примером можно сказать, Что в интересующей нас задаче в точке 1 находится передающая антенна, а в точке 2 — приемная. Вместо этого решается вспомогательная задача, в которой в точке 2 расположена передающая антенна, а в точке 1 — приемная, и применяется соотношение (73.09). С помощью леммы Лоренца можно обобщить теорему взаимности таким образом, чтобы она относилась
\не только к идеализированным антеннам — элементарным ди-, , < . полям, но и к реальным ан-
