Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что все источники поля (электрические и магнитные токи) находятся при Так как при ZCZ1 и z>z2 искомое электромагнитное поле удовлетворяет однородным уравнениям (75.01), то оно должно иметь вид (75.06). Однако поле, возбуждаемое данными источниками, должно при z-h>~±oo стремиться к нулю вследствие потерь в волноводе; только при этом дополнительном условии согласно § 10 получается единственное решение электродинамической задачи. Поэтому справа от источников
E=^CsEs, H = IlCsHs (при z>z2), (76.01)
а слева от источников
E=2C_sE_s, H = VlCs H_s (при г<Z1). (76.02)
Таким образом, волны должны расходиться от области, занятой источниками. Комплексные амплитуды этих волн (коэффициенты Cs и Cs) легко найти, если воспользоваться леммой Лоренца (73.04), в которой вместо поля Eb Hi возьмем искомое поле Е, Н, удовлетворяющее уравнениям (75.02), а в качестве поля E2, H2 берется сначала поле E_g-, H_s-, а затем поле Es-, Hs- (считаем s'>0). Поверхность 5 выберем так же, как и раньше (см. рис. 100), причем возьмем поперечное сечение Si левее всех источников, т. е. при ZCz1, а сечение S2 — правее всех источников, при z>z2. В результате получим соотношения
$ (lEH_s-]-[E_s. Н]} ndS = — J (3е E_s—jm H_s) dV,
с (76.03)
f {[EHS-] - [Es- Н]} ndS = — J(je Es- - jm Hs-) dV.
'302 Интеграл по поверхности So обращается в нуль по тем же причинам, что и раньше. На сечениях Si и S2 векторы E и H представляются в виде рядов (76.01) и (76.02). Из условия ортогональности (75.10) и формулы (75.11) вытекает, что
J {[EH_S.]-[E_S, Н]} 1 dS= 2C_S J_Si _s, = 0,
51 s
J ([EH_S'] - [E_s, Н]} 1 dS = 2 Cs /s, _s. = Cs-- Ns
52 s c
J ([EH5'] — [Es-H]) 1 dS = ?C_S /_s, s, = Cs- J-S-, s Ї= —Cs- -Ns.,
51 s c
j {[EH,.] - [E,. H]} 1 dS == 2 Cs Jtx = 0.
52 s
Окончательно получаем следующие формулы:
Cs = -J-1(jeE-s jmH_s)dV, C_s = -Lі(fEs-rHs)dV,
Ns V Ns у
(76.04)
определяющие коэффициенты Cs и Cs в виде интегралов по объему, занятому источниками. Заметим, что Cs и C_s получились постоянным« (іне зависящими от z), ікак это и предполагалось при написании формул (76.01) и (76.02).
Выведенные выражения имеют простой и наглядный вид. Их недостаток заключается в том, что в области Zi=SIz^iz2, занятой источниками, они неприменимы. Для определения электромагнитного поля при некотором z, лежащем между Zi и Z2 (рис. 101,а), можно воспользоваться следующим приемом: мысленно удалим (рис. 101,6) источники из плоского слоя (z—-б, z+o) и обозначим получающееся в сечении z электромагнитное поле через E', H'. Поле E', H' есть, в сущности, поле в области, свободной от источников, поэтому его можно представить в виде (75.06). По соображениям, приведенным выше, электромагнитные волны, распространяющиеся направо (Es, Hs), создаются источниками, находящимися слева от данного сечения z, а волны, распространяющиеся налево (E-s, H_s), — источниками, расположенными оправа. Поэтому в пределе при 6-М) получаем
Cs = ^r і (jeE-s— jm H_s) dV, Cs = -L- j (jeEs jm Hs) dV,
Ns (Z1, z) Ns (z, Z2)
(76.05)
где скобка (г,, z) означает, что интегрирование производится по всем источникам левее данного сечения z, а скобка (z, z2) — интегрирование по всем источникам правее сечения z.
Однако поле E', H' отличается от поля Е, Н, существующего в том же сечении до удаления источников: удаляя источники из слоя, тем самым обрываем продольные электрические и магнитные токи и создаем на поперечных сечениях z—б и z + o поверх-
'303
WWWi AW \WW>|\\WW I і
Л VJ
ч\\\\\\ AW WWV|N WW4 і і
Рис. 101. Поле в области, занятой источниками:
а — основная задача; б— вспомогательная задача
Zi
Z
а)
Z
Ю
ностные электрические и магнитные заряды. На сечении 2—б поверхностные плотности электрического заряда ое и магнитного заряда стт связаны с продольными составляющими Jez и jmz соотношениями
д o-ldt = Ц д om/dt = jf, (76.06) так что при временной зависимости e~iuU
— і COCTe = It, — і COCTm = ff . (76.07)
В сечении z+b плотности поверхностных зарядов равны соответственно —сте и —CTm. Поверхностные заряды создают в слое (z—8, 2 + 6) при 6-^0 дополнительное поле 4я .е, ,,„ 4л
E" =
Jzl Н"
1 0)[Х
-Jz 1.
(76.08)
Так как поле E', H', получаемое по формулам (75.06) и (76.05), есть поле в «препарированном» поперечном сечении (рис. 101,6), а поле Е", Н" возникает в результате препарирования, то для определения поля, существующего в реальной системе (рис. 101,а), необходимо .из первого поля вычесть второе. Таким образом, окончательные выражения для искомого электромагнитного поля имеют вид
E = 2(C,E, + C_SE H = 2(CSH5 + C„sH_S)
ь
1 сое
4л
І О) [А
if:
(76.09)
где коэффициенты Cs и Cs даются формулами (76.05). При Zi^ эти коэффициенты являются функциями от г, так как при изменении Z «левые» источники превращаются в «правые» (или наоборот) и вследствие этого амплитуды волн изменяются.
Вне области, занятой источниками, дополнительные слагаемые в формулах (76.09) проп-адают, коэффициенты Cs и C_s перестают зависеть от z, и формулы (76.09) переходят в формулы (76.01) и (76.02). Поэтому (выражения (76.05) и (76.09) дают самую общую запись электромагнитного поля, возбужденного в волноводе заданными источниками.
