Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Исследовать поле симметричной волны в спиральном волноводе при низких частотах, в частности при условии ka<1. Решение. По формулам (69.03) получаем He = PsmftCiCo(Pa)Zo(Pr), Пт=i?cosftCKi(pa)h(pr) при r<a и по формулам (69.02) находим
Hr =—khp cos ftCKi (pa) h (pr) e№z,
Яф = ikp2sin ^CKa(Pa)Ii (pr)e,h\
Hz=—\kp2 cos ftCKi (pa) h (pr)e№z.
Отсюда, во-первых, видно, что составляющей Hff можно пренебречь по сравнению с остальными двумя (из-за множителей sin ft и Ко(ра), и, во-вторых, следуют приближенные выражения
Hz=H0eihz, Hr=—Hu(ihrl2)ehz, где (а)
Hq=—ikp2cos ftC/Ci (ра) г=—і kp cos ftC/a.
При выводе использованы приближенные формулы (58.13) и (58.15). При низких частотах h^k и если выполняется добавочное условие йа<С11, т. е. окружность спирали мала по сравнению с длиной волны, то по формулам (а) получается однородное магнитное поле, как в обычной катушке индуктивности.
2. Исходя из формул (69.01), (69.02) и (70.01), исследовать поле противофазной волны в бифиляряой опирали при W= 1, г<а и k-^-Q, полагая A = =—2л/1, т. е. рассматривая поле с той же периодичностью, что и сама спираль.
Решение. При г<а формулы (70.01) дают
Пе=Alt (pr) Ki (ра) еЧ П™ = BI1 (pr) Kf1 (ра) е'Ф,
где А и В выражаются через третью константу С так:
А = —k2C sin ft, B=—іkh C cos ft,
а p-s—Л = 2я// и A/B->0 при k->0. Пренебрегая в формулах (69.02) функцией Пе и полагая p'BK't (ра) =2Я0, получаем
Hr=-IH0 [/0 (pr) + I2 (рг)[ е' Htf = H0 [/„ (рг) - I2 (рг)] еі((р-рг\
H2 = —2Я0/і (Pr) ег(ф-рг), р = 2л//,
где использованы формулы (см. § 70)
I' 1 (у) = Uo(у)+Ыу)] 12, I,(у)Iy= [/о(У)-Ii(U)V2.
Согласно § 2 физический смысл гари CO=1O имеет вещественная часть комплексного вектора Н. Поэтому окончательные выражения для составляющих магнитного .поля принимают вид (считаем Н0>0)
Hr = H0 [/„ (pr) + I2 (рг)] sin (ф—pz), Hlf = H0 [Z0 (Pr) —12 (рг)] cos (ф—рг),
Hz = — 2Нд I1 (рг) cos (ф—pz).
При рг<С' 1, т. е. вблизи оси, справедливы более простые выражения Hr=H0Sin (ф—рг), Hlf =H0COS (ф—pz)
'288Hx = —HtsSin pz, Hv = H0COS pz,
откуда следует физический смысл постоянной Но', это — амплитуда поперечного магнитного поля на оси спирали.
Полученное магаитостатическое поле можно трактовать жак магнитную волну нулевой частоты.
3. Пользуясь тождеством (69.06) н формулами (70.01) и (69.02), связать величину H0 в предыдущей задаче с током в бифилярной спирали. Показать, что Н0->-0 при ft-Ю, и ,выяснять физический смысл этого соотношения. Решение. При г>а вторая формула (70.01) дает
Tlm (г, (P)=Bl11 (pa)Ki (рг)ёч>,
поэтому
IIm (а+О, ф)—ГИ(а—0, ф) = (5/ра)е'ф
и согласно формулам (69.02)
H^ — ff"* = <Д/в») ЄІ((Р-Р2>, Я <2> — Hp = — (рВ/а) е' ^-pzK
Согласно формуле (4.02) поверхностная плотность тока, !соответствующая этим скачкам магнитного поля, имеет составляющие
I2 = (сВ/4 я a2) eU(p-pzK »'ф = (срВ/4яа) е' (ф-рг), которые после перехода к вещественным величинам принимают вид Zz = Z0Sin o соб(ф—pz), Ifsi=IoOOS ft cos(<р—pz),
где
сН0 sin o / 2па
і о = —--;--Ctg ft = ра — —
2л cos2 ft K1 (ctg ft) \ I
При ра-^-оо произведение раК\(ра) стремится к нулю пропорционально рае-Pa и, следовательно, магнитное поле на оси при данной плотности тока to экспоненциально убывает. Отсюда видно, что поле, создаваемое бифилярной спиралью, имеет поверхностный хаірактер и при ft-Ч) (т. е. при //а-Ю) сосредоточивается вблизи поверхности г = а: возвращаемся к бифилярной катушке с исчезающе малым магнитным полем. Плотность тока і0 связана с током J в каждом из спиральных проводов соотношением i0=4J/l.
Глава XIV.
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ЗАДАННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
§ 73. Лемма Лоренца и теорема взаимности для электрических диполей
Лемма Лоренца есть вспомогательное математическое соотношение, связывающее комплексные амплитуды двух электромаг-
10-240 289нитных полей. Пусть поле Ei, Hi возбуждается сторонними токами jei и jmi и удовлетворяет уравнениям
rot E1 = і AjpH1--— j™, rot H1 = — і А: е E1 + -І5- j®, (73.01)
с - с
а поле E2, H2 возбуждается сторонними токами je2 и jm2 и, следовательно, удовлетворяет уравнениям
rot E2 = і AjpH2—— j™, rotH2= —іА;єЕ2 + — Ц (73.02)
с с
Оба электромагнитных процесса имеют одну и ту же частоту ti) = ck и происходят в одном и том же пространстве, комплексные проницаемости которого є и р, вообще говоря, меняются от точки к точке.
Умножим первое уравнение (73.01) скалярно на H2, а второе уравнение (73.02) — на -Ei и сложим
H2 rot E1-E1 rot H2 = і ? (є E1E2 + р H1 H2) (Ц E1 + ff H2);
с
аналогично получаем второе тождество
H1 rot E2 — E2 rot H1 = і & (є E1E2 + р H1 H2)--^ JiE2+ JS1H1) .
Вычитая это тождество из первого и пользуясь известной формулой векторного анализа
div [AB] = BrotA- A rot В,
получаем соотношение
div [EH2I — div [E2 H1] = — (К E2-J2eE1-JTH2 + j2m H1), (73.03)
с
представляющее собой лемму Лоренца в дифференциальной форме. Интегрируя по произвольному объему V и пользуясь теоремой Гаусса — Остроградского, получаем лемму Лоренца в наиболее общем виде