Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Se==7?rE2(o))' ^ = ІЙГН2(С0)' (516>
P = 4" з H E (со), S= -j—[Е (со) H (со)], (5.17)
¦4 ОН
где WaH W11 —комплексные амплитуды колеблющейся части ,плотности электрической я магнитной энергии соответственно; р — комплексная амплитуда колеблющейся части плотности отдаваемой
мощности; ® — комплексная амплитуда колеблющейся части вектора Умова — Пойнтинга.
?0 Доказанные леммы раскрывают смысл произведения
-Los (ю)Ь(ю) и вещественной части произведения а (со) Ь* (ю). 2 2
При этом смысл мнимой части —а(и)Ь*(и) остается ,неопределенным и, в частности, мнимая часть вектора (с/8я) [Е(со) Н* (со)] не имеет четкого физического смысла. То же относится и к мнимой части — j*((o)E((i)).
Применим доказанные выше простые леммы к двухполюснику— некоторой цепи, состоящей из элементов R, L и С (рис. 3). Пусть J(t)—ток, a U (t)—напряжение. Тогда мгновенная мощность, вводимая в двухполюсник,
&(t)=J(t)U{t). (5.18)
Она равна работе электрического поля, прогоняющего через двухполюсник за единицу времени заряд /(/).
Если напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону с частотой со, то можно ввести комплексные амплитуды
U(V)=Votla, /(Oi)=ZoeiP, (5.19)
где Uo и Jo — абсолютные величины комплексных амплитуд, а и ? — их фазы, а через ф обычно обозначается разность фаз
ф=а—?. (5.20)
Величину
3і = -L- J* (e>) U (со) :
-J0U0^ ф
(5.21)
в электротехнике и радиотехнике называют комплексной мощностью, ее вещественную часть
re & =j-j0u0 cos ф
(5.22)
R -czd-
L
а)
Рис. 3. Двухполюсники (к § 5 и 8)
21 — активной мощностью, ее мнимую часть
J0U0sinф (5.23)
— реактивной мощностью. Величина (5.22) по первой лемме равна среднему значению мгновенной мощности (5.18), величина (5.23) четкого энергетического смысла не имеет. Колеблющаяся часть мгновенной мощности (5.18) определяется по второй лемме комплексной амплитудой
& = —J(<a)U (со) = — J0 U0 е* («+». (5.24)
2 2
Ниже, в § 6, аналогичные понятия будут введены для электромагнитных полей. В двухполюсниках, изображенных на рис. 3,6, в, всегда ф=0; к рис. 3 вернемся в § 8.
Величина !?(t) в теории электромагнитного поля заменяется на —2, т. е. на поток энергии в данный объем из окружающего пространства. Поэтому соотношение (1.11) для двухполюсника принимает вид
Sf°(t) = P + ~, (5,25)
at
где P — мощность потерь; W — электромагнитная энергия в двухполюснике.
§ 6. Теорема о комплексной мощности
Из комплексных уравнений § 3
rot E = і ? и H —— jm, rot H = — і & є E + je (6.01)
с с
легко получаются уравнения для комплексно-сопряженных векторов Е* и Н*
rot E*= —i?u*H*--— jra\ rot H* = і A e* E* -f- -І2- je", (6.02)
с с
где
е = е' + і е", р = ц' + і р", ^6 Q3J
г* = г'—is", (і* =(i'—і[х".
Умножим первое уравнение (6.01) скалярно на H*, второе уравнение (6.02) на —E и результаты сложим. Используя известное тождество векторного анализа
H*rot E—Erot H*=div [EH*], (6.04)
получаем соотношение
4я с
22
div[EH*]= —ik&* [El2 + i&p,]H|a--— (je* E + jmH*), • (6.05) которое после умножения на —с/8я и использования формул (2.05) и (6.03) принимает вид
-div -f-;iEH*] = -JL (8" IEP+ Ii" |H|2) +
оЯ оЯ
+ і - JL (e' jEP- р' |НІ2) + -j- if E + f H*). (6.06)
on 2
Введем обозначения:
© = -?_[ЕЩ Pe = -Me^E, = 4- Г H*, (6.07)
8я 2 2
р? = -^1|Е|2, Pfl = ^iHI2, (6.08)
ОЯ OTt
Wn =
е'
Е 16я 11 16я
причем отметим, что величины ре и рт — комплексные, а остальные — вещественные. С помощью этих обозначений перепишем соотношение (6.06) более кратко:
— div © = рЕ + рй + 2ію(к^—o/) + pe + pm. (6.10)
По форме это соотношение напоминает формулу (1.18); ниже будет показано, что соотношение (6.10) включает в себя закон сохранения энергии для монохроматических полей. Чтобы облегчить физический анализ этого соотношения, введем интегральные величины (V—объем, ограниченный поверхностью 5 с внешней нормалью п, см. рис. 1):
± = §KdS, Pe = $PedV, Pm = \pndV, (6.11)
svv
Pyl = $ P11 dV, (6.12)
E I2, W=-Z- IHl3, (6.09)
W'e=$w'edV, Wrll = SwldV (6.13)
V V
и преобразуем с помощью теоремы Гаусса — Остроградского формулу (6.10) в интегральное соотношение
—2 = Л* + Лі + 2 і0)(1Vz-W1il) + Pe + рт. (6.14)
Вектор ^ называется комплексным вектором Умова — Пойнтинга, а величина Б — комплексной мощностью излучения из данного объема V. Формула (5.12) показывает, что вещественные части этих комплексных величин имеют четкий физический смысл
Re© = ©, Re2 = 2, (6.15)
где ©— среднее (за период колебания) значение обычного вектора Умова — Пойнтинга а 2 — среднее значение мощности излу-
23 чения (или, что то же, потока энергии) из данного объема. Физический смысл этих величин нами подробно рассмотрен в § 1. Мгновенное значение мощности, поглощаемой сторонними электрическими токами, можно по аналогии с формулами (1.09) и (1.14) написать в виде
Pe= \ PedV, pe=f(t)E(t), (6.16)
V
тогда комплексные величины Pe и ре будут связаны с Pe и ре соотношениями
