Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2) на бесконечности поля убывают быстрее, чем IfR, где R — расстояние от фиксированной точки. Последнее условие можно формулировать следующим образом:
I EI <M/pi+«, I HI при R-+0о, (10.06)
где M — некоторое положительное число, а а — конечная положительная константа.
36 Для доказательства теоремы единственности применим опять теорему об активной мощности к разностному полю в рассматриваемой области пространства, ограниченной с одной стороны поверхностью S, а с другой — сферой бесконечно большого радиуса.
Для поверхности 5 имеем 2=0 в силу условий (10.03) для разностного поля, а для бесконечно большой сферы 2=0 в силу следующих оценок:
|Е| < IE1I + |Е2| <2M/R1+a, IH{ <2М/Я1+а,
I SK^f IEI IHI dS<-^ '-?sr^* R2 =Zgr-->0 при R^ со.
Ta« как для разностного поля Pe = Pm = 0, то опять приходим к соотношению (10.05), откуда и делаем заключение, что разностное поле должно быть тождественно равно нулю, т. е. двух различных решений одной и той же задачи быть не может.
Физический смысл теоремы единственности заключается в том, что в данном объеме V не может существовать разностное электромагнитное поле, поскольку оно лишено подвода энергии через источники поля (для него сторонние токи отсутствуют) и через границы объема [согласно условиям (10.03) и (10.04)]. Благодаря потерям в каждой точке объема V такое поле должно затухать во времени и монохроматическим быть не может.
Предположение о потерях является не только математически, но и физически необходимым. В самом деле, если во внутренней задаче совершенно отсутствуют потери, разностное поле может быть отличным от нуля, по крайней мере, для некоторых частот. Действительно, рассмотрим объемный резонатор, ограниченный идеально проводящей стенкой, имеющей форму поверхности S; внутри такой поверхности могут существовать незатухающие электромагнитные колебания, имеющие определенные частоты и удовлетворяющие однородным уравнениям поля и граничному условию Et = 0 на 5 (см. гл. XV). При этих частотах решение внутренней задачи для данного объема становится неоднозначным, поскольку разностное поле может быть равно полю этих колебаний.
Решение внешней задачи при отсутствии потерь также теряет свою единственность. Так, для безграничного пустого пространства при известных токах и зарядах электромагнитное поле не определяется однозначно: помимо запаздывающего решения (см. § 17) можно написать опережающее решение, также удовлетворяющее всем уравнениям поля, и, кроме того, прибавить еще произвольное решение однородных уравнений поля, например сумму произвольных плоских волн. Вводя небольшое поглощение в пространство и пользуясь условиями (10.06), ,мы при доказательстве теоремы единственности исключили как опережающее решение, имеющее вид волн, сходящихся из бесконечности к источникам поля, так и решение однородных уравнений типа плоских волн, а оставили только запаздывающие решения, имеющие вид расходящихся
47 от источников сферических волн. Действительно, только эти последние, претерпевая затухание при своем распространении во все стороны от источников, стремятся на бесконечности к нулю быстрее, чем 1/R. Опережающие же решения при R-*-оо экспоненциально возрастают, поскольку направление их распространения— от бесконечности к источникам. Плоские волны также исключаются из рассмотрения с помощью условий (10.06), поскольку они затухают в направлении своего распространения и в противоположном направлении экспоненциально возрастают.
При отсутствии поглощения в бесконечном пространстве сходящиеся и расходящиеся волны перестают отличаться друг от друга по поведению амплитуд при R-*~oo, Поэтому теорему единственности для бесконечной непоглощающей среды сформулировать труднее. Для этого нужно потребовать, чтобы электромагнитные поля на бесконечности имели вид сферических волн, расходящихся от источников и зависящих от R по закону eikRIR (в пустоте). Точная математическая формулировка этого требования может быть дана в виде следующих предельных соотношений:
UmR (--IAEWO, UmR ( — — іАн\ =0, (10.07)
Х-юо \дЯ j «-»» \ OR J
которые называются условиями излучения. Этим условиям удовлетворяют лишь расходящиеся волны, сходящиеся (имеющие зависимость e~ihR/R) и плоские-волны им не удовлетворяют.
Физически ясно, что условия излучения выделяют ноля, создаваемые данными источниками, и обеспечивают единственность решения внешних задач. Более широко рассматривать эти вопросы нецелесообразно, поскольку при практическом решении задач гораздо проще предполагать с самого начала, что пространство имеет малые потери (например, приписать пространству малую проводимость), получить решение задачи и лишь в окончательных результатах, перейти к непоглощающей среде, положив є" = 0 и р/'=0.
Задачи к гл. I
1. Выяснить, какой вид принимают уравнения (Ia) и (IIa) при переходе к комплексным обозначениям и как они связаны с уравнениями (2.16).
Решение. Из первого уравнения (2.16) ввиду тождества (Iivrot=O -следует уравнение div(|j.H)=0, совпадающее с уравнением (IIa) в комплексной форме. Второе уравнение в силу формул (2.12) и (1.07) приводит к соотношению
