Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вайнштейн Л.А. -> "Электромагнитные волны" -> 9

Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.

Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны — М.: АСТ, 1988. — 440 c.
Скачать (прямая ссылка): elektromagnitnievolni1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 182 >> Следующая


Как указывалось выше, для монохроматических Рис. 2. Грани- процессов уравнения (3.08) следуют из уравнений ца раздела 5 (3.05). Можно показать, что граничные условия для нормальных составляющих поля, вытекающие из уравнений (3.08), также автоматически удовлетворяются, коль скоро справедливы граничные условия (4.01).

В случае если на поверхности 5 имеются поверхностные токи — электрические и магнитные, поверхностные плотности которых соответственно обозначаются через іе и im, то тангенциальные составляющие электрического и магнитного поля терпят разрыв и вместо граничных условий (4.01) будем иметь граничные условия

[п, Е(2>-Е(1>] = _-i*-ft [п, Н(2) —Hu>] = —ie, (4.02)

с с

где через п обозначена нормаль к поверхности S, направленная в сторону 2 (рис. 2). Если имеются поверхностные электрические токи, возбуждаемые полем, то в граничных условиях (4.03) под ie нужно понимать полную поверхностную плотность тока (как стороннего, так и возбужденного полем).

Заметим, что поверхностные электрические токи не могут су ществовать в проводниках, имеющих конечную проводимость: дей ствительно, наличие поверхностных токов означает, что через бес конечно малое поперечное сечение проводника идет конечный ток что приведет к выделению бесконечно большого джоулева тепла Поэтому поверхностные токи становятся физически возможными только при бесконечной проводимости тела (идеально проводящие тела, см. § 24). Поверхностные магнитные токи имеют еще более условное значение (ом. § 74 ,и 92).

§ 5. Леммы о смысле квадратов и произведений комплексных амплитуд

Выше приведены в комплексной форме как уравнения электромагнитного поля, так и граничные условия. К числу основных положений теории поля (см. § 1) относится также связь между величинами, фигурирующими в уравнениях (в данном случае — комплексными амплитудами полей и сторонних токов), и энергетическими величинами.

Как видно из § 1, энергетические величины определяются квадратами и произведениями мгновенных значений полей и токов. Ниже выразим энергетические величины, характеризующие монохроматические поля, непосредственно через комплексные амплитуды. Для этого понадобятся две простые леммы.

18 Пусть имеются две физические величины a (t) и b(t), которые сначала будем считать скалярными. Им соответствуют комплексные амплитуды а (и) и b(ia), связанные с самими величинами соотношениями

a (t) = Re (а (со) е~1ш'}, b(t) =Re{&(o))e-Iu"}. (5.01)

Если а (со) и o (со) суть комплексные числа:

а(а)=Леіа, Ь(со) =Be1P, (5.02)

где А и В —¦ абсолютные величины, а а и ? — аргументы этих комплексных чисел, то

a (t) =A cos (at—a), b(t)=Bcos(at—$). (5.03)

Таким образом, абсолютные величины комплексных амплитуд являются амплитудами соответствующих физических величин, а аргументы комплексных амплитуд определяют фазу этих величин. Образуя произведение

a (t) b (0 = AB cos (0 /—a) cos (со t — ?) =

= -і- AB [cos (а—?) + cos (2gyt — а— ?)] (5.04)

и вычисляя его среднее значение за период колебания

a(t)b(t) = — J a (t) Ъ (t) dt, (5.05)

т о

очевидно, получим

1

а (*)&(/) = -у ,4?cos (а—,?), (5.06)

или

a (t) b(t) = Y Re {а (со) Ь* (со)} = Re (а* (со) b (со)}. (5.07)

При a(t)—b(t) эта формула дает выражение для среднего квадрата

1 . / \ & / « 1

аа (t) = а (со) а* (со) = — | а (со) |2. (5.08)

Формулы (5.07) и (5.08) дают первую лемму, в которой от скалярных физических величин не представляет трудности перейти к векторным. Рассмотрим энергетические величины

Wg = -Z-E*, OPlt =-Ий-Я», (5.09)

оя 8я

P = JE, <s = -f-[EH], (5.10)

о которых говорилось в § 1 [см. формулы (1.13), (1.14) и (1.16)].

19 Соответствующие средние (за период колебания) значения выразятся через комплексные амплитуды полей по формулам:

We = E(со)I2, ^ = -lJHH(CO)I*, (5.11)

16я, IDJI

P=JLReU* (о) E (со)}, S =Re [E(CO)H* (со)1, (5.12)

Z OJl

непосредственно вытекающим из формул (5.08) и (5.07).

Доказанная лемма позволяет по известным комплексным амплитудам вычислять среднее значение или постоянную часть энергетических величин. Докажем теперь другую лемму, позволяющую делать то же самое для переменной или, что то же, колеблющейся части энергетических величин.

Действительно, выражение (5.04) для произведения a(t)b(t) можно переписать в виде

a(t)b(t) = a(t)b(t) + a{t)b(t), где функцию времени

a (t) b (t) = -J- AB cos (2<?t—а—?) (5.13)

естественно назвать переменной или колеблющейся частью произведения a(t)b{t): эта часть колеблется во времени с частотой 2ю и имеет среднее значение, равное нулю. Формулу (5.13) можно переписать в виде

а (Г)Щ = ф Re {а (со) b (и) е-*»'}, (5.14)

показывающем, что половина произведения комплексных амплитуд а (со) b (со) является комплексной амплитудой колеблющейся части произведения a(t)b(t). В самом деле, формула (5.14) аналогична формулам (5.01), отличается лишь временными множителями (е~2іиі и е~ш). При a{t) = b(t) формула (5.14) принимает вид

o*'(Q = -і. Re {а2 (со) e-2iM'}. (5.15)

Анализируя с помощью формул (5.14) и (5.15) энергетические величины (5.09) и (5.10), получаем
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 182 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed