Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Из сказанного следует, что мнимые части комплексных прони-цаемостей е" и р" имеют непосредственный энергетический смысл. По этой причине величины г" и р." не могут быть отрицательными:
ъ">0, р'>0. (9.11)
Отрицательность г" или р," применительно к обычным, пассивным веществам (т. е. находящимся в термодинамическом равновесии со своим окружением) означает, что в них происходит образование электромагнитной энергии за счет охлаждения, что согласно второму началу термодинамики невозможно. Активные среды квантовой электроники в линейном приближении часто характеризуют комплексными проницаемостями с отрицательными г" или р", но такие среды здесь рассматриваться не будут.
Вещественные части комплексных проницаемостей чаще всего положительны:
в'>0, р'>0. (9.12)
Однако непосредственного энергетического смысла они в общем случае не имеют (см. § 6—8). Поэтому при сильной зависимости от частоты г' или р,' может быть отрицательной. Наиболее известным примером среды с отрицательным е' является плазма, для которой е(ю) определяется .формулой (8.01); при <й<0Р и малых V для плазмы 8'-<0.
34 Таким образом, комплексные проницаемости
в=в'+ш"=|8|е!0, ц=р'+ір"=|р|е1д (9.13)
в силу неравенства (9.11) должны находиться в первом или втором квадранте плоскости комплексного переменного, т. е. аргументы их должны быть заключены в пределах
О^б^я, (9.14)
При выполнении неравенств (9.12) эти величины должны находиться только в первом квадранте, так что аргументы будут заключены в более узких пределах
0^6<я/2, 0^Д<я/2. (9.15)
Идеальным средам (без потерь) соответствуют вещественные положительные значения б и р, т. е. 6=0 и А = 0. Заметим, что аргументы б и А часто называют углами потерь: б —углом электрических потерь; А — углом магнитных потерь.
§ 10. Теоремы единственности. Условия излучения
Различные задачи, которые приходится решать в теории монохроматических электромагнитных полей, можно разбить на две категории: внутренние задачи и внешние задачи.
Во внутренних задачах рассматривается поле в ограниченной части пространства, окруженной поверхностью S. Внутри поверхности S задаются сторонние токи, а на самой поверхности — либо тангенциальная составляющая электрического поля Et (заданная, например, на части Si поверхности S), либо тангенциальная составляющая магнитного поля Ht (на остальной части 5г поверхности S, см. рис. 5,а).
Во внешних задачах рассматриваются электромагнитные поля в безграничном пространстве вне некоторой поверхности 5, на которой также заданы тангенциальные составляющие Et или Htt а в окружающем эту поверхность пространстве заданы сторонние токи (рис. 5,6).
Для обеих задач можно доказать теорему единственности, т. е. показать, что двух решений быть не может. Важность этой теоремы заключается в том, что, найдя каким-нибудь способом решение внутренней или внешней задачи, можно гарантировать, что оно реализуется в действительности и что другого решения искать не нужно.
Теорему единственности для обеих задач удается доказать только в предположении, что в каждой точке пространства отличны ОТ нуля (хотя, может Рис- 5- К те°Реме единственности:
быть, и весьма малы) либо ^ ДзадачиУтренней задачн: б_для внеш"
2* 35 электрические, либо магнитные потери, т. е. либо всюду г"~>0, либо всюду р">0.
Доказательство теоремы единственности проведем от противного и предположим, что существуют два решения поставленной задачи, т. е. два различных электромагнитных поля Eb Hi и E2, H2. Образуем разность этих полей:
E=Ei-E2, H = Hi-H2. (10.01)
Разностное поле будет удовлетворять однородным комплексным уравнениям поля (см. конец § 2) и граничным условиям на поверхности
Et = O на Sb Ht = 0 на S2, (10.02)
-которые можно согласно § 4 также переписать в виде ' [пЕ] =0 на Sb [пН] =0 на S2. (10.03)
К этому разностному полю можно применить теорему об активной мощности (6.18). Для внутренней задачи эту теорему нужно применить ко всему объему V, ограниченному поверхностью S. В силу граничных условий (10.03) имеем
Sn = — [EH*] n = — [пЕ] Н* = — — [п H*1 E = 0 на S (10.04)
8я 8 л 8л
и 2=0; сторонних токов нет, поэтому pe = ?m = 0. Формула (6.20) для разностного поля примет вид
Pe+ P11 = 0. (10.05)
В силу неравенства е">0 из этого соотношения следует, что разностное электрическое поле в любой точке внутри поверхности S должно быть равно нулю. Отсюда из уравнения (II) (см. § 2) следует, что разностное магнитное поле также тождественно равно нулю. Если же считать, что в каждой точке пространства р">0, то из соотношения (10.05) следует, что разностное поле Н=0, тогда из уравнения (I) следует, что и Е=0.
Таким образом, теорема единственности для внутренней задачи доказана, причем для ее доказательства существенно предположение о наличии электрических или магнитных потерь в каждой точке рассматриваемого объема V. В доказательстве теоремы единственности для внешней задачи помимо этого предположения сделаем еще два:
1) все сторонние токи находятся на конечном расстоянии;
