Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Добавляя множитель —с/8л и пользуясь формулами (6.03), приходим к соотношению
- div -f - [EHl = (e" E2 + р" H2) - і -if- (є' E2 + р' H2) +
оЯ ОЯ оЯ
+ -I-UeE-HmH). (7.02)
Оно похоже по внешнему виду на соотношение (6.06), но имеет иной физический смысл. Согласно формуле (5.17) вектор
в- —IEH] (7.03)
8я
дает колеблющуюся часть вектора Умова — Пойнтинга, а величины ?e=-i-jeE, Pm = I- jraH (7.04)
— колеблющуюся часть мощности, отдаваемой полем сторонним электрическим и магнитным токам в единице объема.
Как увидим далее, соотношение (7.02) дает теорему о колеблющейся мощности. Прежде чем переходить к более детальному анализу этого соотношения, вернемся к формуле (1.18) ^-дифференциальной форме закона сохранения и превращения энергии для
26 любого поля. Рассматривая монохроматическое электромагнитное поле и усредняя соотношение (1.18) по времени, в силу равенства
UL=JLI dt=w{T)-w{0)=o, (7.05)
dt т J at т
вытекающего из периодичности энергии (см. § 6), получаем формулу
р+ div S = O. (7.06)
Это — дифференциальная формулировка закона сохранения энергии в среднем за период или теорема об активной мощности. Согласно § 6 величина р определяется формулой (6.22), а величина S — формулой (6.15); само соотношение (7.06) получим, если в выражении (6.10) приравняем вещественные части.
Беря колеблющуюся (переменную) часть каждого слагаемого в формуле (1.18), получаем соотношение
— +р+div S=O. (7.07) dt
Действительно, производная dw/dt согласно формуле (7.05) постоянной части не имеет, поэтому ее переменная часть
д W д ,— . • "ч o ш ЛСП
__= (W + W)= . (7.08)
dt dt dt
Віводя вместо колеблющихся величин W, р и Є их комплексные
амплитуды W, р и © по формулам
W = Re Iw e-2i<^), "р = Re (р e-2i®0,
S = Re(Se^2i»0 (7.09)
(см. § 5), приходим к соотношению
— divS = p—2ішш. (7.10)
Переменную часть плотности мощности, отдаваемой полем, естественно представить, как и постоянную часть (6.22), в виде суммы четырех слагаемых
Р = РЕ + Рд + Ре + Рт, (7.11)
где величины ре и рт определяются формулами (7.04), а величины P е и рд дают переменную часть мощности электрических и магнитных потерь в веществе.
Переменная часть плотности энергии
W =we+ w?, (7.12)
где We — переменная часть плотности электрической энергии;
Vv
Wv, — магнитной.
27 При сравнении формул (7.02) и (7.10) можно сделать вывод, что переменная часть плотности электрических и магнитных потерь в веществе
Pe = |fEa, Pn = ^-H2. (7.13)
а переменная часть плотности электрической и магнитной энергии
S8 = -Ea, Sli=-^H2. (7.14)
8 16л 16л
Однако такая физическая интерпретация слагаемых в формуле (7.02) является неоднозначной и в общем случае просто ошибочной, Действительно, сравнение тождеств (7.01) и (7.02) с законом сохранения энергии (7.10) приводит к соотношениям
pt—2i сош8 = — i-^-E2, Pll-2ісошд = — i-^- H21 (7.15)
из которых формулы (7.13) л (7.14) можно ,получить лишь їв частных случаях, например при справедливости простейших материальных уравнений (§ 1), когда е'=ео, е"=4яа/о) и ц=р-о- Как увидим ниже, знание комплексных функций в (со) и р,(ю) еще не дает возможности вычислить плотность электромагнитной энергии— как ее среднего значения, так и переменной части (см. § 8).
От дифференциальной формулировки (7.07) нетрудно перейти к интегральной
dW4h'P+ 2 = 0, (7.16)
dt где
W = Г wdV; P = J "pdV; 2 = фёп dS. (7.17)
Пользуясь соответствующими комплексными амплитудами P и 2, можно также написать
—2 = P—2i со W. (7.18)
Соотношения (7.16) и (7.18) называются теоремой о колеблющейся мощности.
§ 8 *. Энергия электромагнитного поля
Чтобы пояснить затруднения, возникающие при определении энергии электромагнитного поля, остановимся на вопросе, который редко разбирается в курсах электродинамики. Вопрос состоит в следующем: при справедливости простейших материальных уравнений § 1, в частности уравнений (IIIc) и (IVb), плотность потерь oE2=j2/o, что соответствует выражению JRJ2 для мощности, выделяющейся в виде тепла в сопротивлении R при прохождении че-
28 рез него тока /. Это выражение соответствует опытному закону Джоуля — Ленца, которое, как кажется на первый вгзляд, однозначно следует из закона Ома U=RJ для напряжения U, т. е. из уравнения j =IctE.
На самом же деле закон Джоуля — Ленца не является тривиальным следствием закона Ома: закон Ома, т. е. соотношение U=RJ, для данного двухполюсника может выполняться, причем на всех частотах, а закон Джоуля — Ленца не выполняется, выражение RJz для мощности лотерь неприменимо. Более того, в противовес обычным представлениям в данном двухполюснике может накапливаться сколь угодно большое количество электрической и магнитной энергии. Поэтому из материальных уравнений (III) в общем случае не вытекают выражения (IVa) и (IVb) для плотности энергии и плотности потерь, последние требуют дополнительного опытного обоснования.
Поясним сказанное в предыдущем абзаце. Двухполюсники, изображенные на рис. 3,6 и в, оба удовлетворяют закону Ома U= =RJ (задача 3). Мощность, сообщаемая двухполюснику, дается формулой (5.18): ZP=JU=RJ2. Однако в случае простого сопротивления (рис. 3,6) сообщаемая мощность немедленно превращается в тепло, а в случае более сложной цепи (рис. 3,в) часть поступающей мощности запасается в элементах LhCh выделяется в виде тепла спустя некоторое время (порядка т). Таким образом, зная только импеданс двухполюсника на всех частотах, еще нельзя указать, какая часть подводимой к нему энергии остается электромагнитной, а какая превращается в иные формы; нельзя также вычислить запас энергии при гармонических колебаниях. Для определения этого запаса необходимо суммировать энергии во всех элементах LnC конкретной схемы.
