Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
41 Запишем однородные векторные уравнения § 2 в декартовой системе координат х, у, z:
ав, __дв, _. k н IMi-dJh.= -\кгЕХУ
ду dz
ikliHy, dJb-Zf*--IkeE9,
dz dx
dJh-dJh--[k&Ez. (11.01)
ду dz
SEx OEZ _
dz dx
дЕу дЕх_
dx dy dx dy
Для плоской волны производные по X и у равны нулю и уравнения (11.01) значительно упрощаются. Прежде всего из третьего уравнения каждого столбца получаем
Hz=0, Ez=0, .(11-02}
откуда видно, что плоские электромагнитные волны в любой среде суть волны поперечные.
Комбинируя затем попарно уравнения, в которые входят Ex и Ну, с одной стороны, и Ey и Hx, с другой стороны, приходим к двум независимым системам уравнений (в которых символ д/дг заменен на d/dz, поскольку все величины зависят только от z):
= і & р Ну, dJh=—\k\xHx,
d Hy .. „ dHx .. р (11-03>
-- =—lkeE.., —-=—ike Ev.
dz х dz v
Исключая из каждой системы какую-нибудь одну функцию, для каждой из четырех величин Ex, Hy, Ey и Hx получаем простое уравнение
+ = 0, (11.04)
cfe2 v '
где введено обозначение
K = (11.05)
Величина К называется комплексным волновым числом данной среды. Помимо этого часто вводят обозначение
п = Ущ (11.06)
и п называют комплексным показателем преломления данной среды. Величины К и п связаны соотношением K,=kn. Квадратный корень в этих формулах извлекается так:
(11.07)
где углы б и А взяты в пределах (9.14) ил« (9.16), а корень "К |е|-|р/| понимается в арифметическом смысле. Поэтому число л всегда находится в первом или втором квадранте плоскости ком-42 плексного переменного,. а при выполнении дополнительных условий (9.12) — в первом квадранте.
Дифференциальное уравнение (11.04) имеет общее решение
Z7 = C1 еl/Cz + Ci е~ІКг, (11.08)
где Ci и C2 суть произвольные постоянные. Написав для четырех величин Ex, Hv, Ey и Hx выражения такого вида с разными постоянными и подставив их в уравнения (11.03), приходим окончательно к следующим выражениям:
Ex = А еІКг + В е"'*г, Ey = C е'*г + D е-'*г,
Я„= у(Ле»*«—Be-1**), Hx = -L (—СёКг+ De~iKz), (11.09)
где введено обозначение
VT-Vl^iT1)- <1U0)
Комплексное число ? называют волновым импедансом данной среды; смысл этого термина будет ясен из § 13.
Разберем физический смысл выражений для Ex и Hy, причем ограничимся только первым слагаемым, положив 5=0:
Es = Ae1Kf, Hy = j-Ae{K*. (11.11)
Перейдем к физическим величинам, полагая
K=K'+iK", n=n'+in", A= |Л|еЧ (11.12)
Пользуясь соотношениями (2.01), получаем Ex(t) = \А\ e~K"zcos[K'z—iat + а),
Hy(t) = ~ H|e-*"zcos(Vz—+ а + j. (11.13)
Эти формулы показывают, что, отвлекаясь от экспоненциального множителя e~K"z, мы имеем электромагнитную волну, распространяющуюся со скоростью
и==(а/К'=с/п'г (11.14J
поскольку составляющие Ex и Hy изменяются в зависимости от г и t по закону
cos(/C'z—cof+ф) =COS[/C'(z—ut) ~Ьф] , ф = СОП5І:.
Распространение благодаря наличию экспоненциального множителя е-к"г сопровождается затуханием, причем амплитуда поля уменьшается в е раз при прохождении волной расстояния
d=\IK". (11.15)
Расстояние d называется глубиной проникания поля в данную среду, а для металлических проводников имеет еще одно название —
43 ex(t)
толшина скин-слоя; происхождение второго названия рассмотрим детально в гл. IV.
Рис. 6. Монохроматическая волна, распространяющаяся в поглощающей среде
z
Таким образом, физический смысл К' и п' заключается в том, что они определяют скорость распространения волны в данном веществе, точнее, ее фазовую скорость, поскольку речь идет о фазе монохроматической плоской волны (11.13).
При этом величина п' связана с фазовой скоростью и в данной среде и скоростью с в пустоте таким же соотношением, что и обыкновенный показатель преломления в оптике. Поэтому величину л = = п' + \п" естественно назвать комплексным показателем преломления. Величины К" и п" определяют затухание волн при распространении в данной среде и связанную с этим затуханием глубину проникания d.
Если нарисовать зависимость поля Ex (t) от 2 в какой-то определенный момент t, то получим кривую на рис. 6 — синусоиду, затухающую по оси z. С течением времени эта синусоида, оставаясь ограниченной сверху и снизу двумя экспонентами dz\A\e~K"z, передвигается со скоростью и по оси Z: с такой скоростью, в частности, перемещаются узлы поля, т. е. точки, где поле равно нулю.
Величина К' определяет в мгновенной картине поля (рис. 6) пространственную периодичность (или, точнее, при К">0 квазипериодичность) поля. Если ввести длину волны в данной среде с помощью соотношения
то длина к' будет равна удвоенному расстоянию между двумя соседними узлами поля и приближенно равна (с тем большей точностью, чем меньше затухание К") расстоянию между двумя соседними максимумами или минимумами поля. Отсюда название «длина волны» для А' и «волновое число» для К, поскольку вещественная часть К равна числу волн, укладывающихся на отрезке 2л.
Формула (11.11) всегда определяет волну, затухающую в положительном направлении оси z, так как в силу условий (9.14) и формулы (11.07) всегда будем иметь п">0 и К">0. Что же касается скорости распространения, то она для такой волны может быть как положительной, так и отрицательной. В последнем случае с течением времени синусоида на рис. 6 передвигается не направо, а налево. Такой тип распространения принципиально возможен, хотя и встречается довольно редко; для осуществления этого необходимо, чтобы было ис0, /С'<0 и п'<.0 или 6+Л>я. Это возможно, если один угол потерь больше я/2, а другой достаточно велик (он может быть меньше я/2).
