Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Энергетические формулы (1.08)—(1.11) можно переписать в несколько ином виде. Формула (1.08) показывает, что электромагнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью
w = w, + wll, 0.12)
причем эта плотность является суммой плотности электрической энергии W8 и плотности магнитной энергии W11:
= Wtl = -^-HK (1.13)
Объемная плотность отдаваемой мощности (т. е. мощность, отдаваемую полем на единицу объема)
р = jE. (1.14)
Интегральные величины W и P связаны с дифференциальными величинами W и р:
W=^wdV, P=^pdV. (1.15)
V V
Наконец, входящий в выражение (1.10) вектор
® = [ЕН], (1.16)
4л
называется вектором Умова — Пойнтинга. Этот вектор связан с потоком энергии из данного объема формулой
2 = (1.17)
S
Согласно формуле (1.17) величину ®ndS можно интерпретировать как электромагнитную энергию, проходящую в единицу времени через площадку dS, так что вектор ® является плотностью потока энергии. Обычно этот вектор обозначается через S — так же, как поверхность или площадь (последняя может быть вектором, см. § 74), что нежелательно; а другие подходящие буквы (Р, П и пр.) используются в электродинамике для других целей. Применение вместо S той же готической буквы © представляется разумным выходом из трудного положения.
В прошлом неоднократно дискутировался вопрос, имеет ли вектор S и его поток ©«dS через элементарную площадку непосредственный физический смысл или же такой смысл имеет лишь
9интеграл (1.17) для замкнутой поверхности. Если, например, для расходящейся сферической волны &ndS есть действительно поток энергии, то при наложении электростатического и магнитостати-ческого полей, когда ©^=0, реальность энергетических потоков вызывала сомнения. Они устраняются, если учесть, что, например, в цепи постоянного тока происходит непрерывное перемещение энергии: из источника тока — в окружающее пространство, а оттуда — в нагрузку и другие элементы цепи (см. задачу 2). При наложении электростатического и магнитостатического полей энергия циркулирует «по замкнутому кругу», ибо тогда div© = 0. Эта циркуляция приводит к явлениям, доступным наблюдению, поскольку согласно соотношению Эйнштейна между массой и энергией w — = PmC2 (pm — плотность массы) И ® = gC2 (g— плотность количества движения), т. е. такое поле тоже обладает массой и количеством движения.
Пользуясь дифференциальными величинами w, р и можно переписать закон сохранения энергии (1.11) следующим образом:
~+p+div<3 = 0. (1.18)
dt
При написании материальных уравнений (1.06) и (1.07) предполагается, что каждое однородное вещество характеризуется тремя материальными параметрами є, ц и а (для неоднородных веществ они зависят от координат). Чтобы отличить є и ц, фигурирующие в уравнениях (1.08), от комплексных проницаемостей, которые будут введены дальше, будем обозначать є и ц в уравнениях (1.06) через єо и цо соответственно. Тогда сводка основных формул макроскопической теории электромагнитного поля примет вид:
(II) rotE + — = 0 rotH—LH = JlLj (і)
с dt с dt с
(IIa) divB= 0 divD = 4яр (Ia)
(IVa) w = ?2+ -U2- H2 D = є0 E (IIIa)
8я 8я
(IVb) P = j E B = ^0 H (IIIb)
(IVc) <3 = — [EH] j =oE (IIIc)
4я
§ 2. Уравнения электромагнитного поля в комплексной форме
При исследовании электромагнитных колебаний и волн большое значение имеют электромагнитные поля, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону, т. е. колеблющиеся с вполне определенной частотой. Такие поля называют монохроматическими или гармоническими. При математическом исследовании монохроматических процессов, подчиняющихся линейным уравнениям, 10целесообразно ввести комплексные обозначения. Эти обозначения, как известно, используются и в других областях, например в теории переменных токов. Применимость комплексных обозначений тесно связана с линейностью всех уравнений, которым подчиняются физические величины: например, известно, что если цепь переменного тока содержит нелинейный элемент, то использование комплексных обозначений вызывает ряд осложнений.
Сами уравнения Максвелла (I), (II), (Ia), и (IIa) (см. конец § 1) линейны. Поэтому при линейном характере материальных уравнений, в частности при справедливости материальных уравнений (III), переход к комплексным обозначениям производится следующим образом. Векторам Е(/) ,и Н(^)—ве-кторам напряженности электрического и магнитного полей в данной точке — приводятся в соответствие комплексные векторные амплитуды, которые будем обозначать через E (со) и H (со). Связь между физическими величинами и их комплексными амплитудами дается соотношениями:
Е(0=1*е{Е((о)е-1и*}, H [f) = Re (Н(о>) е_ы}, (2.01)
где Re — вещественная часть комплексного вектора, стоящего в фигурной скобке; со — круговая частота исследуемого монохроматического процесса, связанная с обычной частотой f и периодом колебания T формулой
<о = 2я / = 2я/7\ (2.02)
Аналогичным образом вводятся комплексные амплитуды для всех физических величин, входящих в уравнения электродинамики и колеблющихся с частотой и.