Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
т
З-'а* Ь% _ (п + г)\ Ь% _ (п + гУ. 5
/1=1
В итоге приводим уравнения (32) к окончательному виду:
т—г га—1
п=1 п—1
Это уравнения связи первой группы для функционала T(?; А").
Перейдем теперь к уравнениям второй группы, т. е. к уравнениям связи (14) с п>т. Согласно второму из равенств (13) левые части уравнений могут быть записаны в виде 6Г/бЛп, п>т. Правая часть уравнения с данным п является полиномом по связным функциям ?k с Первые из этих функций с
ft<m — наши независимые переменные, а старшие функции ?& с k>m должны быть выражены через функционал Г или его производные, что и приведет к искомым уравнениям. Ввиду наличия рекуррентного соотношения (15) между связными функциями ?fe задача сводится к тому, чтобы записать в нужных терминах повышающий оператор 2D= o/oA{ (частная производная в переменных А). Это нетрудно сделать, написав
m m
Ь
k=\ fc=i
и подставив сюда получаемое с помощью (26) и (29) выражение ДЛЯ ПрОИЗВОДНОЙ ?m+Ь
m —1
0 = У! $ш
2
0 —1\ г-1
и?к V га
(34)
Действуя последовательно повышающим оператором 2) на независимую переменную ?m, мы выразим любую из связных функций ?n сп>пг через производные функционала Г. Отметим, что при k<m из (34) получаем 2D$k = ?/i+ь как и требуется.
Уравнения связи (14) второй группы (п>т) можно записать в виде
~ = 4г ехр I- W] & ехр [ WJ - Jj- + 0)» • 1, (35)
подразумевая, что 3) есть оператор (34). Отметим, что для первого преобразования Лежандра повышающий оператор
205
(1.213) з обозначениях этого раздела имел вид SD =—Fn^/o?b Изобразим полученные уравнения графически, пользуясь следующими обозначениями для связных функций Грина:
(36)
и производных функционала Г:
Гп\= -In
jl
к
Г
т т
л К}— "^^^Е
(37)
Расстановкой точек в блоках, изображающих производные 1\ мы различаем объекты с внешними линиями, подобные связным функциям Грина, и объекты без внешних линий, подобные ампутированным функциям. Обосновать принятую в (37) расстановку мы сможем только после того, как проанализируем диаграммные представления Г, но предугадать ее нетрудно с помощью простого правила: производная Г по объекту с внешними линиями, например по ?n, будет объектом без внешних линий, и наоборот; величина, обратная к объекту с внешними линиями, будет объектом без внешних линий, и наоборот. В дальнейшем мы убедимся, что эти простые правила всегда оказываются верными.
В обозначениях (36), (37) уравнения (33) принимают вид
и •Sr
tti-f
tl 1 ft
тп-1
ч Г t-
(38)
При п — 1 символ •-^ п нужно понимать как
Повышающий оператор в виде
(34) изображается графически
\=1
тп\
U }
та
(39)
3. Уравнения движения в 1-неприводимых переменных [61].
В этой книге будут подробно рассмотрены первые четыре преобразования Лежандра. Оказывается, что при анализе третьего преобразования желательно, а при анализе четвертого необходимо сделать еще одну замену, перейдя от связных переменных
20'*
?==?j... ?m к 1-неприводимым переменным, которые мы будем обозначать Y-Yi- • • Vm-
Положим по определению Yi = ?i» а в качестве остальных переменных Yft с k>\ возьмем 1-неприводимые функции Грина, определенные в п. 1.8.1 соотношением (1.218). Напомним,
что согласно определению Y2 = —?^1 — обратный полный пропагатор со знаком минус, Y3 — ампутированная функция ??r Y4 — ампутированная ?4 за вычетом всех графиков, содержащих одночастичные особенности (см. (1.217)), и т. д. Связные функции выражаются через 1-неприводимые формулами (1.214), обратными к формулам (1.218); для удобства читателя мы перепишем эти соотношения в обозначениях данного раздела. Определим функционал
со
(40)
п=2
и построим его преобразование Лежандра по переменной q(x):
'Hx) = 14 (х), т(ф)=В(ср)-^. (41)
Отсюда обычным образом получаем (аргументы х опускаются)
=-г, W•¦^-=-1. (42)
ocf
Ввиду того, что разложение (40) начинается с ф2, между переменными ф и г|л имеется соответствие 0 <->0, а разложение Y(1I5) также начинается со второй степени Интересующие нас
функции Yn являются коэффициентами в разложении функционала y(^) :
со
7('W = V1
1
(43)
п=2
Эти формулы эквивалентны определениям п. 1.8.1; соотношения (1.218) и (1.214) в новых обозначениях принимают вид:
/г—1
Т/1 =
O ^
т(Ф)
k
Р. = 1-?)р(<р)
4=0
?=0
o2? ' г1 ч
/ Sep _
02т Г ч
8ф2 / 8•I J
Л-1
ф=0
(44)
(45)
Эти равенства позволяют выразить явно y через ?, и наоборот. С их помощью можно также вычислять различные производные типа OY/o?, которые необходимо знать для выполнения замены переменных ?->Y в уравнениях движения. Мы опустим громоздкие вспомогательные выкладки, отсылая интересующегося читателя к работе [61], и приведем лишь окончательный результат—
207
уравнения движения для функционала Г (у; А"). Введем следующие графические обозначения для переменных у'
и производных функционала Г (Ги = оГ/буп, T77z1 ее= б2Г/6уп5у^):
71
К1
(47)
Расстановка точек в блоках (47), показывающая наличие или отсутствие внешних линий у данного объекта, определяется теми же соображениями, что и в предыдущем разделе. Переменная Yi = ?i, являющаяся связной функцией Грина, отличается от прочих переменных Yft, прдобных ампутированным функциям. Поэтому представления (47) нужно дополнить следующим соглашением: если какой-либо из индексов производных Г?г, Tnk равен единице, то в представлении (47) точку нужно
