Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Возвращаясь к анализу диаграмм Г, обсудим вопрос о коэффициентах при графиках. Прежде всего перепишем определение {1O) для т = 2, выразив переменные а через ?:
T=W- A1P1 - A2 (р2 + р?), 2. (79)
Мы знаем (см. п. 1.7.4), что функционал W есть сумма l/2-trlnA и всех связных графиков с линией А и вершинами
An, п=?2. Напишем W= 1/2•tr In А + 12- A1AA1 + W, выделив
нз W график у- *=Т 1 ,и подставим W в таком виде в правую часть (79N:
T= -і- AMi - M - 4" А* & + Pi) + 4"tr 111А - -rtrIn?2 +
(80)
Затравочные величины A19 Л2, А выразим через р с помощью (78):
A1 ^p2-1B1+2T2P1-T1, Л2 = -р2"1-2Г2,
А = - A2"1 = [р2-1 + 2T2]"1 = р2 - р22Г232 + ... . (81)
Пользуясь этими формулами, нетрудно убедиться, что сумма трех первых слагаемых в правой части (80) равна
l/2-tr 1 + P2T2 + 1-приводимые графики. (82)
Явный вид 1-приводимых графиков нас не интересует, поскольку мы собираемся отобрать 2-неприводимую часть (сокращенно
219
2-н. часть) равенства (80), другими словами, приравнять суммы 2-неприводимых графиков в обеих частях этого равенства. Все 2-, а тем более 1-приводимые графики при этом просто отбрасываются.
Собирая логарифмы в (80) и учитывая (81), получаем
-1 2-tr In(^2A-1)= — 1,2-tr In(I + 232Г"2). (83)
Первый член в разложении логарифма является 2-неприводи-
мым и в точности сокращает слагаемое ?2F2 в (82) (в наших
обозначениях ?2r2 = tr ?2r2), а все прочие члены в разложении логарифма (83) являются 2-приводимыми, так как они представляются графически в виде колец с собственно энергетическими вставками.
Эти рассуждения совместно с доказанной ранее 2-неприво-димостью всех графиков Г доказывают равенство Г= 1/2 • tr 1 +
+ 2-н. часть W, в правой части которого затравочные величины ^ и Д предполагаются выраженными через ? соотношениями (81). Ясно, что при отборе 2-н. части линию А можно просто заменить на ?2, поскольку учет дополнительных слагаемых в выражении (81) для А приводит к заведомо 2-приводимым графикам с собственно энергетическими вставками. По тем же причинам затравочный потенциал Ль который входит в графики
W в виде вершины, соединенной одной линией А с остальной
частью графика, можно заменить просто на ?l^?i. Окончательный результат можно записать следующим образом:
r=l/2.trl + l 2-trln?2 + 2-H. часть ~W [A1 = S2^1, A=?2). (84)
Это равенство, являющееся аналогом (1.229) для первого преобразования, устанавливает взаимооднозначное соответствие между графиками Г и 2-неприводимыми графиками W. С его помощью мы можем строить графики Г, не итерируя уравнение (75), а просто отбирая нужные графики в известном диаграммном разложении W.- Отметим, что при замене A->?2, ^i-^?jT1?! происходит ампутация линии, соединяющей в графиках W вершину А\ с остальной частью диаграммы, т. е. после такой замены ,,хвостик" ?! будет присоединяться непосредственно к вершинам An, п>2, без промежуточной линии.
В сущности уравнение (75) нужно нам лишь постольку, поскольку с его помощью можно просто доказать 2-неприводи-мость всех графиков Г. Без этого нам было бы трудно получить соотношение (84), но после того, как (84) получено, уже нет никакого смысла строить графики Г итерациями уравнений движения. Напомним, что точно такую же роль играли уравнения движения и при анализе W (доказательство связности), и при анализе первого преобразования Лежандра (доказательство 1-неприводимости).
220
7. Приближение самосогласованного поля. Как уже говорилось в п. 1.8.3, для первого преобразования Лежандра простейшим является беспетлевое приближение (1.230), эквивалентное первому порядку теории возмущений по вершинам An, /г>2, для функционала Г. Именно оно используется в конкретных моделях при поиске аномальных решений для ?i. Аномалия состоит обычно в том, что ?i^O, тогда как симметрия теории требует ?i = 0. Все релятивистские полевые модели со спонтаи-
А
ным нарушением типа ?i = (0 | ф | 0) =^0 являются вариантами известной модели Голдстоуна (20]. Упомянем также модели Хиггса ![67] и Киббла [68]. В этих работах показано, что безмассовое поле Янга — Миллса (в [67] группа абелева, в [68] произвольная), взаимодействующее с мультиплетом скалярных полей фа, приобретает массу при появлении аномальных средних (0 I фа'| 0)=^0.
Из нерелятивистских моделей такого типа наиболее важной в практическом- отношении является квантовый бозе-газ (см. п. II.2.1), появление отличных от нуля аномальных средних для
А Л
комплексного поля г|), г|)+ приводит к сверхтекучести. Мы уже отмечали, что техника работы с аномальными средними типа ?i впервые была разработана [53] именно в связи с задачей о сверхтекучести гелия. Аналогичные релятивистские модели появились значительно позднее.
Следующей по сложности после ?i является аномалия в про-пагаторе ?2 и для ее изучения необходимо уже не первое, а второе преобразование Лежандра. Как правило, аномалии такого типа ищутся в ,,четных", в частности, в фермионных теориях, для которых все функциональные переменные Л, а, ?, у с нечетными номерами равны нулю. В таких теориях было бы проще и естественнее с самого начала формулировать задачу на языке одних только четных переменных, что вполне можно сделать, исходя из приведенной в п. 1.7.3 полной системы уравнений движения в четных переменных. Если же пользоваться обычной формулировкой п. 1, в которой нечетные потенциалы An с п^Ст сначала считаются произвольными, то переход к четной теории осуществляется лишь в момент решения уравнений стационарности (11): нечетные потенциалы в этих уравнениях полагаются равными нулю и ищется решение с нулевыми значениями нечетных функций Грина а, ?, у. В частном случае второго преобразования первое из уравнений стационарности (78) при А 1 = 0 имеет тривиальное решение: ?i = 0, а второе
