Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 89

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 121 >> Следующая

в (73) ядро Tmm всегда можно найти в виде ряда, затравочное слагаемое которого порождается содержащимся в Г
графиком Ym??Ym = <Jl^ Вклад этого графика в производ-216
ную Г
mm равен
где с — коэффициент при
исходном графике Г; поэтому
"1-ї
+
1
(74)
Сплошная линия обозначает ?2, пунктирная — ?2~!, заштрихованный блок вместе с внешними линиями обозначает вклад в
Г mm ВСеХ ГрафиКОВ, КрОМЄ ВЬІДЄЛЄННОГО.
Итак, по известным вплоть до порядка N графикам Г мы можем вычислить все блоки в правой части (73), определив тем самым ,,правую часть в приближении А/". Ввиду нелинейности по Г правой части (73) это приближение не соответствует
какому-либо определенному порядку по числу линии, но посмотрев внимательно на уравнение (73) и оценив число линий в различных блоках, нетрудно убедиться, что правая часть в приближении N обязательно содержит все графики, получаемые дифференцированием по у2 графиков Г до порядка Af+1 включительно. Это значит, что по известной правой части в приближении Af мы можем найти все интересующие нас графики Г порядка N + 1 по числу линий. В правой части (73) им соответствуют графики, имеющие N + 2 линий, из которых две внешние. Вклады графиков более низких порядков нас не интересуют, поскольку они предполагаются известными, а вклады графиков более высоких порядков в правую часть (73) нужно просто отбросить. Попытка за один шаг итераций продвинуться
больше, чем на один порядок по числу линий, бесполезна: хотя правая часть в приближении N действительно содержит вклады графиков более высокого, чем Af+1, порядка, это всего лишь часть таких вкладов, а не все. Наличие всех нужных графиков гарантировано только до порядка А,т +1 включительно, но этого, конечно, вполне достаточно для того, чтобы итерировать уравнение (73).
6. Второе преобразование Лежандра. Для анализа второго преобразования воспользуемся уравнениями п. 2 (уравнения п. 3 написаны в предположении т>2). При т = 2 в системе (38) имеется единственное уравнение с г = 1:
в котором T2 обозначает производную Г по ?2, а блоки в правой части изображают производные Г по переменным ?i и ?2 (см. (37)). Итерируя это уравнение с нулевым приближением (72) по общей схеме предыдущего раздела, мы представим Г графи-
(75)
217
ками с одетыми линиями ?2, затравочными вершинами An, п > 2, и ,,хвостиками" ?i = уь которые присоединяются непосредственно к вершинам. Для второго преобразования сумма по п в (72) начинается с трех, а затравочное слагаемое в разложении типа (74) обратной операции Г^1 порождается слагаемым 1/2 • tr In ?2 нулевого приближения (72):
Г(0) - L а-1 Г(0)= L а"2 . L • - -
1 2 ;Р2??? 7^? 2*---" '
Мы предлагаем читателю проделать самостоятельно первые шаги итерационной процедуры и приведем лишь ответ для простого и наиболее важного частного случая теории, в которой отличны от нуля только вершины Л3 и Л4. С точностью до пяти лорядков по числу линий
r4trt^24A+^x^(W&48+/2^+
Все приведенные здесь графики являются 2-неприводимыми, т. е." остаются связными при разрыве любой пары линий. Это не случайное явление: посмотрев внимательно на правую часть уравнения (75), нетрудно понять, что это уравнение обладает свойством сохранения 2-неприводимости аналогично тому, как уравнения (1.204) для функционала W обладали свойством сохранения связности, а уравнения (1.223) для первого преобразования Лежандра — свойством сохранения 1-неприводимости.
Свойство сохранения состоит в следующем: если все графики Г вплоть до некоторого порядка являются 2-неприводимыми, то получаемые путем итераций уравнения (75) графики следующего порядка также будут 2-неприводимыми. Это наблюдение с учетом известной неприводимости первых графиков позволяет с цомощью индукции доказать 2-неприводимость всех графиков второго преобразования Лежандра. Утверждение, конечно, остается верным для теории с любым числом отличных от нуля потенциалов An.
Прежде чем обсуждать вопрос о коэффициентах при графиках, рассмотрим уравнения стационарности (11), которые у нас принимают вид
где к = 1,2, Г. — производные Г по {I1. Из (15) имеем == [J1, а2= (?2 Pi?i)/2; разрешив эти уравнения относительно ?, можно
вычислить производные 3[y§aA и призести уравнения (77) к виду
-A1 = ^-2?, -A2 = 2T2. (78)
В вариационном подходе эти уравнения служат для определения неизвестных ,,одетых" переменных P1 и ?2 по известным затравочным Л 1,2.
Написав 2Г = tr In ?2 + 2Г, 2T2 = P2"14"2Г2 и вспомнив, что потенциал A2 связан с затравочным пропагатором А соотношением А = — A2-1, видим, что второе из уравнений стационарности (78) есть обычное уравнение Дайсона pjT1 = А-1— 2Г2, в
котором собственная энергия ^ = 2T2 представлена не в виде суммы затравочных графиков, а в виде суммы диаграмм с затравочными вершинами, но с одетыми линиями и „хвостиками" P1. Подобные уравнения нетрудно вывести путем суммирования затравочных графиков ^], но гораздо труднее показать, что полученная таким образом сумма графиков действительно является вариационной производной по ?2 от некоторого функционала, другими словами, что уравнение Дайсона является в действительности некоторым уравнением стационарности.
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed