Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
JC
чек траектория а(х), а последняя, в свою очередь, определяется траекторией подхода точки х к х.
192
Голдстоуновские флуктуации связывают обычно со спонтанным нарушением некоторой непрерывной группы симметрии. В этом случае граница Gx состоит из точек, получаемых групповыми сдвигами одной (любой) из граничных точек, а направления касательных к границе совпадают с направлениями групповых сдвигов. Отметим, что обращение в нуль кривизны поверхности Г по направлениям групповых сдвигов в точках стационарности Ф (в частности, на границе Gx) является теперь автоматическим следствием симметрии функции Ф, так что предположение о непрерывности вторых производных по направлениям касательных к границе Gx заведомо выполняется. Следует, однако, отметить, что спонтанное нарушение непрерывной группы симметрии является достаточным, но вовсе не необходимым условием появления бесконечных голдстоуновских флуктуации, хотя мы не имеем ни одного примера конкретной системы с голдстоуновскими флуктуациями, но без спонтанного нарушения симметрии.
В критической точке хс обращаются в бесконечность флуктуации по всем направлениям Lxc — критические флуктуации.
Для модели Изинга и классического неидеального газа с одномерной областью G возможны лишь критические флуктуации; в LxQ имеется лишь одно направление, соответствующая вторая
производная W имеет смысл восприимчивости для магнетика и сжимаемости для газа. В критической точке эти величины обращаются в бесконечность.
Вторые производные W по направлениям, ортогональным Lxc , могли бы в принципе оставаться конечными, но для всех
реальных систем почему-то оказывается, что в критической точке и эти производные обращаются в бесконечность (для модели Изинга и газа это соответствует бесконечности теплоемкости). Универсального и убедительного объяснения причины этого явления до сих пор не существует.
За последние годы широкую популярность получила феноменологическая гипотеза подобия или скэйлинга (42, 43, 47]. Эта гипотеза представляет собой некоторое общее утверждение относительно поведения термодинамических функций типа W(х) в окрестности критической точки, хорошо согласующееся с большим количеством экспериментальных данных (хотя и не без исключений — см. лекцию М. Фишера в сборнике [48]). Второй важной идеей, также сравнительно недавней, является утверждение об универсальности критического поведения: термодинамические функции подобных по числу переменных систем, например магнетика Изинга и классического газа, ведут себя практически одинаково в окрестности критической точки.
Все эти обнаруженные экспериментально общие закономерности критического поведения еще не получили четкого и убедительного объяснения на уровне микротеории.
13 Зак. 102
193
На этом мы закончим обсуждение фазовых переходов и вариационной формулировки в термодинамике. Конечно, мы лишь затронули эту интересную и практически необъятную тему, но нас она касается лишь постольку, поскольку здесь в полном объеме содержится вся идеология вариационного принципа. Рассматривая в дальнейшем более сложные функциональные варианты этого принципа, мы будем обращать основное внимание на чисто техническую сторону вопроса, считая, что общий смысл уже ясен.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА ПРОИЗВОДЯЩЕГО ФУНКЦИОНАЛА СВЯЗНЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА
1. Функциональные формулировки вариационного принципа.
Рассмотрим теорию поля или квантовую статистику полевого типа, не касаясь пока ферромагнетиков и классического газа. В интересующих нас случаях динамика системы определяется функционалом действия 5(ф), который состоит из свободной части и взаимодействия. Мы будем пользоваться универсальными обозначениями и считать единое поле ф(х) бозонным. Это ограничение несущественно: при обобщении па фермионы нужно лишь следить за типом (левые — правые) и порядком написания производных.
Пусть 5'(ф) —функционал действия интересующей нас теории, S" (ф) —добавка к действию, являющаяся интегралом по времени от вещественного лагранжиана (IV. 18). Входящие в этот лагранжиан симметричные ,,потенциалы" An(^i-.. х„) будут в дальнейшем рассматриваться как независимые переменные, играющие роль числовых параметров х з термодинамике; как обычно, будут рассматриваться лишь такие вариации потенциалов А, которые не нарушают вещественности лагранжиана (IV.18).
В теории поля аналогом термодинамической функции W(x) будет определенный в п. IV.3.2 функционал г (А) —сдвиг энергии основного состояния из-за добавки действия Напомним, что в псевдоевклидовой теории этот функционал определяется равенством Jn G (А) — — Ie (А) | dt, в котором G(A) =
= const J ехр/5 (ср), где Sp- S' -\- S''' — полное действие
с добавкой, а нормировочная постоянная фиксируется условием G(O) = I. В евклидовом варианте теории тот же самый
функционал s (А) определяется равенством In Ое (А) ='— г (A) J dty в котором GQ (A) = ccnst J ехр Se (ср) с обычной нормиров-кой, a ое= Sq-{-Sq — евклидов функционал действия (Sq = S J-
194
ч
Для квантовой статистики при конечной температуре аналогом s(А) будет определенный в п. VЛ.9 функционал Q(A), имеющий смысл сдвига термодинамического потенциала из-за добавки Напомним его определение: In бз (А) = — ?2 (А),
