Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где G? (A) = const j Dcp ехр Sp (ср) с обычной нормировкой,
5? = 5? + 5p — полное температурное действие, т. е. евклидово действие для интервала времени [0, ?j. При стремлении температуры к нулю ^-> ^ dt и Q(A)->s(A).
Как было показано в пп. IV.3.2 и V.l.9, s и 2 являются выпуклыми вверх функционалами потенциалов А.
При переходе к вариационной задаче вводятся переменные а, сопряженные с потенциалами А. В теории поля Zn[X1 ... Xn) = (A)1OAn(X1 ... Xn). Пользуясь общими правилами связи между функциональными и операторными конструкциями (пп. 1.3.3 и 1.6.5), нетрудно убедиться, что в теории ПОЛЯ
Zn(X1 ... хл) = —^-(0|?(^f X1) ... ?(/, хл)|0), (5)
где |0)—основное состояние полного гамильтониана теории с
действием 5 = S'+ ф— оператор поля этой теории. Вакуумное ожидание (5) от времени в действительности не зависит, так что оператор поля может быть взят в любом представлении. В квантовой статистике вместо вакуумного ожидания (5) получилось бы среднее значение.
Все соотношения п. 1.2 очевидным образом обобщаются на рассматриваемый случай — функции заменяются на функционалы, обычные производные — на вариационные. Для преобразования Лежандра
r(a) = s(A)--2j ••• frfxi ^XnAn(X1 ... Xn)^n(X1 ... Хл)
.(6)
справедлив аналог соотношения (3), что доказывает выпуклость вниз функционала Г (а). Аналогичные (2) уравнения стационарности бГ/бап = —An служат для определения неизвестных а по известным А. Исходной теории с действием S' соответствует точка A=Ob пространстве потенциалов. Если эта точка является особой в смысле определения п. 1.4, то решение вариационной задачи вырождено и вместо точки стационарности а мы получим целую выпуклую область стационарности 0 со всеми вытекающими отсюда последствиями. В частности, всякое непрерывное вырождение решения сопровождается появлением бесконечных голдстоуновских флуктуации. Из спектрального представления (IV.21) второй вариации функционала г(А) видно, что эта величина обращается в бесконечность тогда, когда в гильбертовом пространстве состояний соответствующей
13*
195
квантовомеханическои теории имеются отличные от основного состояния с такой же или сколь угодно близкой энергией. Это значит, что основное состояние не может соответствовать изолированному невырожденному уровню гамильтониана: либо имеется вырождение, либо уровень не является изолированным, т. е. в спектре гамильтониана нет щели, отделяющей основное состояние от всех прочих 1[49]. Сказанное выше есть осторожная формулировка хорошо известной в релятивистской теории теоремы Голдсто>на {50], утверждающей, что всякое спонтанное нарушение непрерывной группы симметрии сопровождается появлением в теории безмассовых частиц. Спонтанное нарушение нужно лишь постольку, поскольку оно автоматически влечет непрерывное вырождение, а безмассовая частица есть релятивистский вариант бесщелевого возбуждения. Аналог теоремы Голд-стоуна для квантовой статистики при конечной температуре получен в работе [51].
Существенной чертой описанного выше вариационного принципа было то, что потенциалы и сопряженные им переменные зависели лишь от координат хг-, но не от времени. Теперь мы переходим к формулировке вариационного принципа с потенциалами самого общего вида. Введем функционал
со
(7)
UX1 ... UXnAn(X1 ... Xn)V(X1) ... ср (Xn)
с произвольными симметричными потенциалами Ап(хх...хп). В псевдоевклидовой теории мы будем считать, что Л(ф)=і5(ф), где 5(ф)—функционал действия, а в евклидовой теории и квантовой статистике мы будем считать функционалом действия сам Л(ф), чтобы во всех случаях функциональные интегралы писались с весом ехрЛ(ф). Для статистики конечных температур поля ф и потенциалы An следует, разумеется, считать периодическими функциями по каждому из временных аргументов, а интегрирование по этим аргументам производить лишь по интервалу [0, ?]. Мы будем рассматривать только бозонные теории. При обобщении на фермионы потенциалы с четными номерами следовало бы считать величинами бозонного типа, а с нечетными — фермионного.
Определим функционалы G(A) и W(A) равенством
0(Л) = ехр W(A) — const J Dcp ехр Л (ср). (8)
Числовой множитель перед интегралом фиксирует нормировку G.
Величины G(A) и W(A) являются производящими функционалами полных и связных функций Грина соответственно для
190
теории с действием Л(ф) (евклидов вариант) или —ь4(ф) (псевдоевклидов вариант): указанные функции Грина являются кратными производными соответствующего функционала по потенциалу А\(х).
Функционал W в дальнейшем играет ту же роль, что и функция W(х) в термодинамике. С потенциалом An сопряжена переменная
ап (X1 ... Xn) = S W(A) ЬАп (X1 ... Xn) =
= (1/я!)<ср(х1) ... ср(х/г)>, (9)
где <.. .> обозначает функциональное среднее с весом ехрЛ(ф). В теории поля это среднее имеет смысл полной функции Грина без вакуумных петель (функции Hn разделов 1.3.1 и 1.4.9), а в квантовой статистике это будет температурная функция Грина без вакуумных петель (V.1).
Преобразованием Лежандра порядка т будем называть преобразование по первым т потенциалам АГ=\А{ ... Ат) -> -XX=(Gi1 ... ат):
