Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
190
В заключение следует предупредить читателя, что изложенная выше феноменология фазовых переходов не является общепринятой. Обычно фазовые переходы связывают с особенностями термодинамических функций, но нам кажется, что язык вариационного принципа и выпуклых функций является более наглядным и универсальным.
6. Критические и голдстоуновские флуктуации. Как уже неоднократно говорилось, варьируемая функция Ф постоянна на всякой области стационарности Gx- Отсюда следует, что в любой внутренней точке a ? Gx равны нулю вторые (и прочие) вариации Ф для всех тех направлений вариаций 6а, которые не выводят из Gx- Вследствие выпуклости области бх множество таких направлений одинаково для всех ее внутренних точек, и мы обозначим его Lx; Lx есть некоторое линейное подпространство той же размерности, что и Ox, показывающее ориентацию области (Jx в пространстве переменных а.
Мы будем говорить, что поверхность Ф имеет нулевую кривизну по направлениям Lx в любой внутренней точке Ox- То же самое можно сказать и про поверхность Г, поскольку функции Ф и Г различаются на линейное по а слагаемое.
Рассмотрим теперь некоторую точку а, лежащую на гладком участке границы области Gx (например, если бх треугольник, то не в вершине). Среди векторов Lx можно выделить один, направленный по нормали к границе бх, все ортогональные ему векторы Lx направлены по касательным к границе бх- О касательных имеет смысл говорить только тогда, когда dim(7x>l. Для одномерной области Gx, являющейся отрезком прямой (модель Изинга и классический неидеальный газ), в Lx имеется единственное направление, которое следует считать нормальным к границе.
Для всех рассмотренных в п. 2 систем поверхность Г имеет конечный скачок кривизны в точках выхода на плоский участок Gx из-за того, что вторые производные по направлению нормали к границе терпят на границе конечный скачок. Величина этого скачка уменьшается по мере приближения к критической точке хс, а в самой точке хс обращается в нуль. В то же время вторые производные по направлениям касательных к границе оказываются непрерывными на границе; из непрерывности и равенства нулю этих производных внутри Gx следует, что производные по касательным к границе направлениям Lx стремятся к нулю и при подходе к граничной точке Gx со стороны неособых точек.
Таким образОхМ, в граничных точках Gx кривизна поверхности Г по касательным к границе направлениям Lx обращается в нуль („голдстоуновский нуль"); направления нулевой кривизны определяются выбором области Gx, т. е. выбором х, \\ выбором точки а на границе Gx-
191
Как уже говорилось выше, при стремлении особой ТОЧКИ Л* к хс стремятся к нулю скачки вторых производных по направлению нормали к границе Gx для любой точки границы, так что в самой критической точке и эти производные обращаются в нуль. Отсюда ясно, что в критической точке поверхность Г имеет нулевую кривизну по всем направлениям Lxc (,,критический нуль"). Разумеется, мы предполагаем, что'при х-*хс пространство Lx, характеризующее ориентацию области Gx, непрерывно поворачивается, стремясь к некоторому предельному Lx0.
Покажем теперь, что кривизна поверхности T определяет величину флуктуации в системе. Обозначим через Г" матрицу вторых производных Г в некоторой точке а0 и через W" — матрицу вторых производных W в соответствующей точке х° (а0 определяет х° однозначно, хотя обратное в общем случае неверно). Пусть е— вектор, в направлении которого поверхность Г в точке а0 имеет нулевую кривизну. Это значит, что среднее значение матрицы Г" по вектору е равно нулю. Поскольку матрица Г" знакоопределеиа (Г"<0), можно утверждать, что е является ее собственным'вектором с нулевым собственным значением, а множество всех ортогональных е векторов есть инвариантное подпространство матрицы Г", т. е. перекрестные матричные элементы между этим подпространством и е равны нулю. Далее, согласно равенству (3), матрицы Г" и W" взаим-но-обратны с точностью до знака, следовательно, е будет также собственным вектором W" с собственным значением + оо. Строже следовало бы сказать так: при стремлении х к х° из области неособых точек один из собственных векторов положительно определенной матрицы W" стремится к е, а соответствующее собственное значение стремится к бесконечности.
При анализе выпуклости W в п. V.l. 10 мы видели, что вторая вариация W по направлению е пропорциональна ,,температурной дисперсии" (V.41) оператора ае = 2?^,-, где а* — те операторы, удельными средними значениями которых являются переменнее аи Если все операторы а* взаимно коммутируют, то температурная дисперсия совпадает с обычной. Поэтому бесконечность второй вариации W принято обозначать термином бесконечность флуктуации.
Из предыдущего анализа кривизны поверхности Г можно заключить, что в тех случаях, когда область стационарности G-
Ji
имеет более одного измерения, при подходе к особой точке X из области неособых точек х в системе возникают бесконечные голдстоуновские флуктуации. Направления, для которых флуктуации обращаются в бесконечность, определяются точкой границы G-, в которую приходит идущая из области неособых то-
