Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 83

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 121 >> Следующая

* Мы будем называть скелетным любой график, в котором хотя бы один из элементов является одегым. Более точным, но менее привычным был бы термин "/«-скелетный".
199
Здесь надо отметить, что авторы работ [52, 58] исходили при определении различных функционалов из операторной формулировки. При таком подходе тождественность соответствующих функциональных конструкций квантовой статистики и теории поля не вполне очевидна, что и побудило авторов [58] переформулировать заново основные соотношения [52] на языке квантовой теории поля. Если же исходить, как в этой книге, из функциональных интегралов, то сразу видно, что в отношении вариационного принципа между статистикой и квантовой теорией поля вообще нет какого-либо существенного различия.
Метод анализа диаграмм Г с помощью уравнений движения впервые был использован в [59] для первого преобразования. Общие уравнения движения для преобразований Лежандра любого порядка были получены в работах [60, 61]. В работах [62—64] с помощью этих уравнений были воспроизведены и обобщены результаты (52] относительно первых четырех преобразований Лежандра; в работах [65, 66] таким же способом построены диаграммные представления преобразований сколь угодно высокого порядка.
Отметим, что развитый в [59, 62—66] метод анализа преобразований Лежандра с помощью уравнений движения успешно применяется и к объектам другого типа — преобразованиям Лежандра логарифма производящего функционала S-матрицы, о которых пойдет речь в следующем параграфе.
2. Уравнения движения в связных переменных [60]. Исходной точкой служат уравнения движения для функционала G(A), которые выводятся непосредственно из определения (8) и уже приводились в п. 1.7.3. Это уравнения связи (1.194) с п>\ (мы не ввели в действие (7) тривиальное слагаемое A0) и уравнение Швингера (1.195), которое очевидным образом линеаризуется с помощью уравнений связи. В терминах функционала W(A) = In G(A) уравнения движения принимают следующий вид:
го
1 . Vl W W 1 ту ^ < /1,4
Al+Ztк чгг=0; ж=-*н- n>L (l4)
Для сокращения записи мы опускаем аргументы xif но нужно помнить, что в уравнении Швингера имеется один свободный аргумент х, а в уравнении связи с данным п 'подразумевается п аргументов Х\.. . хп. В правые части уравнений связи входят величины Hn, имеющие смысл полных функций Грина без вакуумных петель, представленных в виде полиномиальных форм
связных функций Грина ?k^6kW/6A\, k>0. Явные выражения для полиномов Hn даются формулой (I.201).
Наша задача состоит в том, чтобы переписать уравнения (14) в терминах преобразования Лежандра і и его переменных.
200
Мы будем считать, что т> 1, поскольку первое'преобразование рассматривалось в гл. I.
По серьезным причинам, которые мы сейчас пояснігм, Г желательно рассматривать не как функционал переменных а, имеющих смысл несвязных функций Грина, а как функционал ог эквивалентного набора первых связных функций Грина ? = {?b.. ?^}. Дело в том, что мы собираемся строить с помощью уравнений движения диаграммные представления Г, а вершины и линии диаграмм будут определяться, конечно, функциональными аргументами Г. Желая иметь диаграммы со связными вершинами и линиями, мы должны работать не с переменными а, хотя именно они непосредственно сопряжены с потенциалами А, а с их связными компонентами ?.
Итак, определив сначала функционал Г (а; А") соотношениями (9), (10), мы хотим теперь сделать замену независимых переменных a->?. Из определений а, ? и соотношений (14), (1.201) ясно, что переменные а выражаются через ? следующим образом:"
an=-LHr = ±^+-^in.\, S^M1 = Jin+1, (15)
т. е. Of1 = B1, «2 = (?2 + Pi?i)/2, и т. д. Напомним, что первая связная функция JB1 = S1 есть среднее-значение поля, вторая функция P2 — полный пропагатор, $k— связная &-хвостка.
Получим несколько полезных при выполнении замены а S формул. Введем вспомогательную полевую переменную ср = ср (х) и функционалы
со со
*(-f)== VVf'<, Hr) = V^P,,?". (16)
/2=0 /2=-1
Переменные ап считаются определенными при любом п соотношением (15), в частности ао = 1. Очевидно, что вся система уравнений (15) эквивалентна следующему функциональному равенству:
а(ср) = ехр ? (ср). (17
Продифференцируем это равенство по ?^ считая функции ? независимыми переменными, а а — функционалами от них:
8я(<р);8р* = а(<р)8?(<р)/8?А = а(?)Т»(й!. (18)
Поле ф — произвольный параметр, и мы можем приравнять коэффициенты при каждой степени ф в обеих частях равенства. Это даст
™Л ==«„-*/*!• (19)
Здесь и далее подразумевается, что as = 0 при s<0.
201
Во избежание недоразумений следует сказать, что обе части равенства (19) содержат n + k аргументов х. Слева это п .аргументов ап и k аргументов ?ft, а правук) часть нужно понимать следующим образом: k аргументов ?ft и k^n аргументов ап (неважно каких ввиду симметричности ап) входят в правую часть (19) в виде произведения k штук б-функций, представляющего ядро единичной операции па пространстве симметричных функций k переменных. Оставшиеся п—/е аргументов ап являются аргументами функции ап-и в правой части (19).
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed