Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
совпадает с обычным уравнением Дайсона: P2"1 = Д-1—2(?2), в котором собственная энергия S представлена в виде суммы диаграмм с одетыми линиями ?2. Разумеется, это верно как для бозонных, так и для фермионных теорий. При обобщении вариационной формулировки п. 1 на фермионную теорию все функциональные переменные с нечетными индексами следовало
221
бы, конечно, считать антикоммутирующими величинами фермионного типа, а четные переменные—величинами бозонного типа.
Аналогом беспетлевого приближения для первого преобразования Лежандра для второго преобразования будет приближение самосогласованного поля Хартри—Фока, в котором удерживаются-лишь графики первого порядка по вершинам (т. е. по потенциалам An, п^З) в функционале Г:
г !са,, поле = const + 1/2-tr Jn 32 + 2Г.,Д,««»). (85)
Входящая сюда сумма есть частное решение однородного уравнения Швингера (24) для т = 2, функции определены в п. 4. В приближении (85) уравнение (24) удовлетворяется точно, а уравнения связи (33), (35) —лишь в низшем порядке по вершинам. Для уравнении связи второй группы (35) низшим порядком является нулевой, и в данном приближении функции
VLn в правых частях (35) заменяются на (х[2\ что равносильна отбрасыванию вкладов всех старших связных функций ?&
с A > 3.
Удержав в Г конечное число графиков, мы можем построить повышающие операторы 2) и 25v для связных и 1-неприводимых функций соответственно (см. замечание в конце п. 3). Вследствие нелииейностей в выражениях (34), (56) в эти операторы войдут бесконечные диаграммные ряды даже при конечном числе графиков в Т. Но было бы неверным утверждать, что полученные по формулам (15), (58) с приближенной операцией SD старшие функции ?n, уп как раз и будут соответственно связными и 1-неприводимыми функциями в данном приближении. Это означало бы незаконное превышение точности: перейдя ко второму преобразованию Лежандра, мы отказались тем самым от теории возмущений для ?i и ?2, но это не касалось старших функций ?n, уп с п>2. Последние все еще предполагаются представимыми в виде диаграмхмных рядов теории возмущений, хотя и с одетыми линиями ?2 и хвостиками ?j. Строя эти функции с помощью повышающего оператора, мы получим достоверные ответы лишь до того порядка, до которого вычислен Г, а в более высоких порядках мы получим только часть диаграмм, а* не все. Отсутствие части диаграмм приведет к тохму, что приближенные функции ?n, \п не будут даже полностью симметричными по своим аргументам х{...хп.
Возвратимся теперь к приближению самосогласованного поля (85). В уравнении стационарности для пропагатора оно соответствует первому порядку теории возмущений в собственной энергии 2. Для четной теории с единственной отличной от нуля вершиной Л4 это уравнение имеет вид
P2 = а - Y
(86)
В случае комплексного поля ф = (я|), г|)+) (например, для электронов) пропагаторы А и ?2 следует считать 2 X 2-матрицами,. причем для нормального решения отличны от нуля лишь их недиагональные элементы, т. е. функции Грина и \|)+г()..
Для сравнения с обычной формой приближения Хартри — Фока для функций Грина (см., например, ![19]) отметим, что в случае парного взаимодействия (11.29) симметризованный потенциал Л4 в (86) включает как прямой, так и обменный вклады. Отметим также, имея в виду теорию атоіма, что решение уравнения (86) всегда неоднозначно вследствие произвола в выборе знаков ±Ю в знаменателях пропагатора. Разному выбору соответствуют разные варианты заселения уровней. Энергия атома определяется значением варьируемого функционала в выбранной точке стационарности. В нулевом приближении эта величина пропорциональна tr In A = In det А и для разных вариантов заполнения уровней принимает, естественно, разные значения (см. вычисление в конце п. V.1.11).
В теории сверхпроводимости ищется аномальное решение для ?2 с отличными от нуля функциями Грина Щ и іф+і{)+, а (86) в этом случае совпадает с уравнениями Горькова [21]. Критерием устойчивости того или иного решения (точки стационарности) является правильная знакоопределенность второй вариации Г в дацной точке (подробнее см. п. 13). Это требует некоторой знакоопределенности от второй производной Г22, что
эквивалентно знакоопределенности Г22 . В приближении самосогласованного поля обратное ядро T224 представляется бесконечным рядом N
ZZ +X +XX +
(с точностью до коэффициентов), который превращается в про-грессию вида О + OO+ООО + ... при сворачивании
каждой пары аргументов с функцией типа 6(х—х')\(х). По нарушению правильной знакоопределенности в такой прогрессии судят о неустойчивости решения [21]. Подчеркнем, что бесконечный ряд диаграмм возник лишь из-за перехода к обратному ядру.
В заключение упомянем феноменологическую теорию самосогласованного поля Гинзбурга — Ландау [69]. В этой теории постулируется, что искомое аномальное среднее („параметр порядка") можно найти как точку стационарности некоторого функционала (что на языке вариационного принципа самоочевидно), и постулируется некоторая, в известном смысле наипростейшая, форма этого функционала. При строгом подходе
