Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
OCO
OCD
а(ср)
. 5ср
14*
*('fW + ?i]. (65)
211
Мы воспользовались соотношениями (17), (40) и учли, что величина 6?((p)/ocp при подстановке ср =—6y(i|))/6\|) обращается в -ф согласно определению преобразования Лежандра (41), (42). Подставив (65) в (64), увидим, что слагаемые с производными 6ф/6ап взаимно сокращаются и выражение (64) оказывается равным фп/а(ф)—бпіф. При подстановке этого результата в (63) возникает ряд по п, который можно собрать:
OO
Па
ш
п
п
«Op)
— S
/її?
а(?)
Ьа (ср)
(66)
поскольку умножение на п коэффициентов степенного ряда по Ф эквивалентно применению операции фб/бф. Воспользовавшись затем еще раз соотношениями (17), (40) — (42), приводим (66)
к виду ф бр(ф)/бф =—г|) 6y(i|))/6^. В итоге получаем следующий простой результат (напомним, что k> 1):
CC
па
°7ft
о
ft г
п
01
а
\, 0T '
^ I O'v»
« = 1
у=0
(67)
и искомое линейное уравнение
т
ЬТ , . о Г
tr 1 — т
07
lft *
со
olk
пА
ЬТ
п ьл
0.
п
(68)
п—т + \
Опишем теперь решения уравнений (24), (68). Прямой проверкой нетрудно убедиться, что в качестве частного решения неоднородного уравнения (68) можно взять trln?2 с коэффициентом 1/2, а общим решением однородного уравнения будет произвольный функционал от первых интегралов:
і і
/ч i ft'
3</e< /;?; An = U1An, n>m, (69)
і ^
где X = ?2" — „корень из пропагатора", определяемый равенством )JX = ?* а произведения
Л і ft
и т. п. понимаются как
свертки типа (1.131) (см. замечание после формулы (1.131)). Первые интегралы (69) будут называться в дальнейшем инвариантными вершинами.
Рассмотрим произвольный график, состоящий из вершин, линий и ,,хвостиков" Yb которые присоединяются непосредственно к вершинам без промежуточной линии. Будем считать, что линии сопоставляется полный пропагатор ?2 = T-Y^1» а вершине, к которой присоединяется п линий и k ,,хвостиков" Yb со-
* Это определение предполагает равенство ?2 = ?^ справедливое для
бозонного поля. Отметим также, что равенство TJX — ?2 определяет X лишь с точностью до преобразования X ->- иК, где и — произвольная ортогональная операция: иТи = 1.
212
поставляется yn+h, если п -\- k < т, и Ап+к, если п + k > т. Ясно, что получаемое выражение будет функционалом от инвариантных вершин (69). Это становится очевидным, если разделить каждую из линий пополам и отнести эти половинки к вершинам, а в точках соединения ,,хвостиков" уі с вершинами вставить X~lX= 1, отнеся первый множитель к уь а второй — к вершине. Следовательно, любая сумма графиков такого типа автоматически удовлетворяет однородному уравнению (68). Отсюда, конечно, не следует обратное—представимость решения графиками равносильна добавочному предположению о разложимости функционала в степенной ряд по инвариантным вершинам.
Обратимся теперь к уравнению Швингера (24). Неоднородный член в этом уравнении содержит функцию ат, которая предполагается выраженной через независимые переменные Yi... ут- Чтобы построить частное решение неоднородного уравнения, определим функционал
т со
а<«<) (?) = ехр 21ГГ № = 2'«"V. (70)
/2=1 /2=0
Коэффициентные функции а(/гт) отличаются от обычных функций
Oin тем, что в них отброшены все вклады, содержащие хотя бы одну из старших функций r$k с к > т. Величины а^1) являются
известными функционалами от независимых переменных причем <х{пт) — 7.п при п % т.
Вспомнив вывод равенства (19), нетрудно понять, что оно будет справедливым и для функций aW, в частности 8^4?==
— V'nm2v Используя это соотношение, можно показать, что функционал SF =z V Апапт) является частным решением неодно-
т
родного уравнения (24). Действительно,
OO / п ч СО
/2 ==/72 + 1 /2 = /32 + 2
что и требуется, так как = ?m и a— Ъ3~, оАп_{. Столь же
просто убедиться, что первыми интегралами однородного уравнения (24) будут подобные старшим потенциалам вершины'
«с
A. j 1\
A^i + IX+... ' (71)
Уравнения (24) и (68) в сущности устраняют yi " Y2 = — ?2 1 как независимые переменные: из (24) следует, что Yi может
213
вхо'дить лишь в определенных комбинациях (71) со старшими потенциалами, а из (68) следует, что линия ?2 входит лишь в определенной комбинации с вершинами. Если рассматривается теория с конечным числом отличных от нуля потенциалов An и делается полное преобразование Лежандра по всем потенциалам, то правая часть (24) обращается в нуль, и в этом случае функционал Г от переменной уі вообще не зависит. Если же порядок преобразования Лежандра на единицу меньше, чем у полного, то в правой части (24) остается лишь первое слагаемое и вся зависимость от у{ содержится в частном решении
Лщ+іа.Йь где Ат+\ — самый старший потенциал.
Впоследствии мы будем строить итерационное решение уравнений движения, которое представляется в виде суммы 1/2 • tr In ?2 и графиков, о которых говорилось выше. При этом графики будут классифицироваться по числу линий, а исходной точкой итерационной процедуры будет определение графиков, содержащих 0 линий. Такие графики есть, и все они содержатся в частном решении ЗГ\ выражая функции апт) через независимые переменные у» мы получим среди прочих слагаемое TjM!, тогда как все другие вклады в а!пт) обязательно содержат хотя бы одну линию ?2. Отсюда ясно, что в качестве нулевого приближения по числу линий нужно брать
