Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 82

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 121 >> Следующая

т , т
Г (a; A") = W (А) — ^ AkbW,bA„= W(A)-^Akaky (10)
где А" — набор „старших" потенциалов, по которым не сделано преобразование, а произведение Akak подразумевает, конечно, свертку по всем аргументам х. Уравнения (2) принимают вид
Sr^=— Л A, ?=1,2,...,//1, (H)
и их решения а(А) являются точками стационарности функционала
Ф (а; А) = Г (а; A") + АкЧ, (12)
принимающего значение W(A) в точке стационарности.
Остальные соотношения п. 1.2 столь же просто обобщаются. , В дальнейшем нам понадобятся аналоги (3) и (4):
т
J^j "нц7' TXJm ~ ~ 0,'*; "W = W "P:i п>т- ^
Произведение вторых производных понимается теперь как свертка. Как и раньше, матрицы вторых производных Г и по аргументам а, А' соответственно представляют взаимно-обратные операции, но теперь их следует понимать как линейные интегральные операции на пространстве ,,столбцов" симметричных функций с возрастающим числом аргументов х, а единицу в правой части первого из соотношений (13) нужно понимать как единичную операцию на таком пространстве.
197
V
В отличие от предыдущих формулировок вариационного принципа рассматриваемые функционалы уже не будут в о|5щем случае выпуклыми. Выпуклость обеспечена лишь в квазивероятностных евклидовых теориях (пп. IV.3.1 и V.l.9), иначе говоря, вторую вариацию W(A) можно считать положительно определенной в тех точках пространства потенциалов А, для которых символ ОфехрЛ(ф) обладает свойствами положительной меры на множестве полей ф и интегралы с весом ехрЛ(ф) ,,сходятся".
Отсутствие выпуклости компенсируется одним весьма существенным достоинством, которым обладают преобразования Лежандра (10), — относительной простотой построения итерационных диаграммных разложений для этих функционалов. Это очень важно, поскольку с практической точки зрения преобразования Лежандра нужны для того, чтобы находить с помощью вариационного принципа аномальные, т.е. неитерационные решения для W(A), а это предполагает умение строить хотя бы приближенные, но явные выражения для Г. Разумеется, никто не предполагает, что функционал Г можно определить точно, но этого и не требуется: построив Г в некотором приближении, мы все равно можем надеяться найти аномальное решение для функций Грина а (точек стационарности), но для этого, конечно, сами уравнения стационарности следует решать не итерациями, а точно. На практике эта программа оказывается достаточно эффективной — во всяком случае все известные на данный момент аномальные решения получены или могут быть получены именно таким способом, причем варьируемый функционал всякий раз достаточно взять в самом низшем приближении. Отметим, что эта программа уже обсуждалась нами подробно для частного случая первого преобразования Лежандра, т. е. для преобразования по одной переменной Аи с помощью которого можно находить вариационным методом функцию Грина (Xi — среднее значение поля. Диаграммное представление для этого функционала было построено в п. 1.8.3; во всех конкретных моделях типа модели Голдстоуна [20] аномальное .решение для cti находят, беря функционал Г в первом порядке теории возмущений, что соответствует беспетлевому приближению (1.230).
Относительная простота диаграммной техники для функционалов (10) объясняется тем, что исходные переменные — потенциалы А — простым образом входят в диаграммные представления функционала W: с точностью до аддитивной нормировочной постоянной W представляется в виде суммы 1/2 •trIn А и всех
связных графиков с линией А = — A^1 (затравочный пропагатор) и вершинами An, пф2 (см. п. 1.7.4). Сопряженные ,,одетые" переменные au так же просто представляются диаграммными рядами с затравочными линиями и вершинами. Разрешая итерациями эти уравнения относительно т первых затравочных переменных А/={А[. .. Ат}у мы представим их бесконечными
198
рядами скелетных графиков с одетыми линиями и вершинами вплоть до m-хвостки и затравочными вершинами An, /г>т*. Подстановка полученных диаграммных рядов для первых потенциалов А' в правую часть (10) приведет к искомым диаграммным представлениям Г. Именно таким прямым методом Доминнсис и Мартин [52] проанализировали диаграммные представления первого, второго, третьего и четвертого преобразований Лежандра.
В этой книге мы будем строить диаграммные представления Г другим способом, а именно:- мы получим сначала полную систему уравнений в вариационных производных (уравнений движения) для функционалов Г и затем построим искомые диаграммные разложения как итерационные решения системы уравнений движения. Такой способ действий значительно упрощает комбинаторный анализ диаграмм Г; важно и то, что пол-пая система уравнений движения для Г определяет этот функционал независимо от его диаграммного разложения подобно тому, как уравнения Швингера определяют функции Грина. Отметим, что для преобразований (6) подобная программа невозможна, поскольку нельзя написать полную систему уравнений в терминах потенциалов, не зависящих от времени.
Закончим этот раздел краткой исторической справкой. Техника функциональных преобразований Лежандра .разрабатывалась практически полностью в рамках статистической физики с целью построения аппарата, приспособленного для описания фазовых переходов. Первым примером использования этой техники следует считать полученное в тридцатых годах известное вириальное разложение в статистике классического неидеального газа [7, 8] (см. § 3). Техника работы с аномальными средними типа осі (первое преобразование Лежандра) была разработана Беляевым [53] для описания 'квантового бозе-газа при наличии конденсата. Объекты типа второго преобразования в различных вариационных формулировках квантовой статистики исследовались в работах Янга и Ли [54], Латтипджера и Ворда [55], Доминисиса [56]. Наконец, в фундаментальных работах Доминисиса и Мартина [52] была впервые четко сформулирована общая схема вариационного принципа для квантовой статистики и явно построены диаграммные представления первых четырех преобразований Лежандра; Иона-Лазинио сразу же отметил [57], что вариационные методы [52] могут быть использованы и в квантовой теории поля и очень удобны для описания спонтанного нарушения симметрии. В работах Дамэна и Иона-Лазинио [58] было впервые получено уравнение движения для одного из преобразований Лежандра и предпринята попытка и ей те р а цион н ого решения этого уравнения.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed