Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
CC
г(0)(т; Л") = 4"1г1п^+ 2 ^ Ааґі- (72)
Л=/71 + 1
Общий член суммы представляет затравочную вершину An с п>т, все аргументы которой свернуты с ,,хвостиками" у{. Любой другой график обязательно содержит хотя бы одну линию.
5. Итерационное решение уравнений. Отправляясь от нулевого приближения (72), можно построить итерационное решение уравнений движения, представляющее функционал Г в виде суммы графиков с одетыми вершинами уз- • -у-т и затравочными вершинами An, п>т. Полное число уравнений движения совпадает с числом независимых переменных Г, но для построения итерационного решения нет нужды рассматривать всю систему уравнений движения. Дело в том, что в обычных условиях, итерируя, например, уравнение вида бГ/бу/* = • •., мы на каждом шаге можем добавить к решению произвольный функционал, не зависящий от y/t, но любым образом зависящий от остальных переменных. Для доопределения этого функционала нужны дополнительные уравнения, содержащие производные по другим переменным. Но если мы заранее знаем, что искомый функционал представляется в виде суммы нулевого приближения (72) и графиков, содержащих хотя бы одну линию ?2, то для определения этих графиков достаточно одного уравнения вида
214
\
ЪТ{Ьу2 = --- . Произвольный функционал, который мы могли бы добавить к решению этого уравнения, не должен зависеть от ?2 = —Y2"1» и поэтому не представим графиками.
Чтобы выделить из системы (50), (51) искомое уравнение, * умножим (50) справа на ?>2=в * ' а каждое из уравнений
(51)—на величину ~ * иначе говоря, сведем в одну
точку все г правых внешних линий в блоках (51) и к полученной точке присоединим линию ?2. Если затем просуммировать все полученные уравнения, то слагаемые с первыми производными I\, &>-2, взаимно сократятся и мы придем к уравнению нужного типа:
IV г = "7г
.И
5д? 1»
Пі
(73)
Изображая последнее слагаемое в правой части, мы включили добавленную правую вершину ^г+1 в общий набор вершин, стоящих на сплошной нижней линии, так что теперь < число этих вершин не меньше двух. Множитель (г — 1)! в (52) в точности соответствует остальным множителям (щ — 2)!, так как для последней вершины пк = г + 1. Следовательно, симметрий-ный коэффициент п в (73) определяется формулой
П («і - 2)!
1. Напомним, что суммирование по 5 в (73)
производится от 2 до т, каждое из чисел П{ может принимать значения от 3 до т, а суммирование производится по всем вариантам расстановок не менее двух вершин с условием
2 (Пі—2)-= S.
Обсудим теперь процедуру итерационного решения уравнения (73). Прежде всего отметим, что первое слагаемое нулевого приближения (72) порождается затравочным слагаемым — у2-1
в правой части (73), но остальные члены (72) не могут быть получены из уравнения (73) и должны вноситься извне как известное из других соображений нулевое приближение.
В левую часть (73) входит производная Г2 = ЗГ/о^2. Для нулевого приближения 2Г20) = — Т-Г1' а остальные графики Г зависят от 72 через посредство линии S2 = —•7-1, для которой
«My2 = & Подробнее: х')1*Ь(у, y')=SymM*,y)Mx', У').
215
/
/
где Sym обозначает симметризацию относительно перестановки х~^_ х' или у ^ )/, что эквивалентно. Графически дифференцирование линии по у2 эквивалентно разрыву этой линии посредине, а производная графика по уг есть сумма вкладов, получаемых при разрыве каждой из его линий. Отметим, что каждый из графиков производной имеет две внешние линии — половинки той линии, которая разрывается при дифференцировании. Отметим также, что если бы мы дифференцировали не по Y2, а по ?2, то этой операции соответствовало бы простое удаление, а не разрыв линии, и производная не имела -бы внешних линий. Полезно также указать, что не всякая сумма графиков вида T2 действительно является производной по Y2 от некоторого графика или суммы графиков — последнее предполагает определенные соотношения между типами и коэффициентами в исходном наборе графиков. Смысл этих дополнительных ,,условий интегрируемости" прост: дифференцируя график, мы должны получить сумму вкладов от разрывов каждой из линий. Если из этой суммы отбросить часть вкладов, то оставшаяся часть уже не может быть производной ни от какого графика, если только она не окажется пропорциональной всей исходной сумме (как будет, например, тогда, когда все линии дифференцируемого графика эквивалентны и разрыв любой из ник приводит к одному и тому же графику).
Соединяя вместе концы разорванной линии в любом из графиков производной Г2, мы возвращаемся, очевидно, к исходному графику Г, который был дифференцирован. Следовательно,
свертка r2?2~1 (ампутируется лишняя внешняя линия) отличается от Г лишь коэффициентами при графиках (дополнительным множителем п для графика с п линиями). Это значит, что по известным вместе с коэффициентами графикам производной F2 мы без каких-либо вычислений легко можем найти соогветст- -вующне графики Г вместе с коэффициентами.
Допустим, что 7мы знаем все графики Г вплоть до порядка iV по числу линий и хотим найти графики следующего порядка N + 1 (исходная точка — знание графиков (72) порядка 0). Вычислим по известным графикам Г все блоки, входящие в правую часть (73). Эти блоки составляются известным образом (см. (46) — (49)) из производных Г по переменным у. Дифференцирование по у2 мы уже обсуждали, дифференцированию по Yi соответствует графически отрыв ,,хвостика" уь а дифференцированию по вершине yk, k > 2, соответствует вырывание этой вершины из графика всеми возможными способаАми. Входящее
