Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
184
Па)
f
- Qf0 -a,О аг ас
ос
пасти конечной решетки в нулевом поле равен, очевидно, нулю (как предел нуля).
Обсудим теперь механизм появления аномальных решений в пределе бесконечного объема на языке вариационной задачи. Для теории в конечном объеме функции ГиФ строго выпуклы, и поэтому их пределы при V->oo также будут выпуклыми. Но выпуклость предельных функций не обязана быть строгой, что и объясняет возможность появления аномальных решений для предельной теории: искомые значения средних а(х) определяются как точка стационарности предельной функции Ф(с*;х), а нестрого выпуклая функция может иметь более одной точки стационарности. Как было показано ранее, множество всех точек стационарности выпуклой (хотя бы нестрого) функции выпукло, а сама функция постоянна на этом множестве.
Картина изменения функции Г при У-> оо показана схематически на рисунке для случая четной функции одной переменной а. Примером такой функции может послужить преобразование Лежандра по приведенному внешнему полю в модели Изинга, рассматриваемое как функция намагниченности а при фиксированной температуре ниже критической. Та же картина пригодна и для модели Гайзенберга, если понимать под а длину вектора намагниченности и ограничиваться полуосью а>0.
Таким образом, на языке вариационной задачи вырождение решения в пределе бесконечного объема становится возможным потому, что преобразование Лежандра перестает быть строго выпуклым и на поверхности Г появляются плоские участки — ,,плато". При соответствующих значениях параметров х (па рисунке при dT/да = —х = O) мы вместо точки стационарности а(х) получаем целую выпуклую область стационарности Cx. На рисунке такой областью является отрезок |а|^ао, крайним точкам которого соответствуют ,,чистые состояния" со спонтанной намагниченностью ±ао, а его внутренним точкам можно сопоставить статистические смеси двух чистых состояний с определенным направлением спонтанной намагниченности (подробнее см. следующие разделы).
Забегая вперед, сравним описанную выше картину поведения " функции Г, полученную исходя из общих соображений, с результатами приближенного вычисления этой функции, например по методу самосогласованного поля. Приближенные вычисления будут подробно обсуждаться в дальнейшем, а здесь мы хотели бы только отметить, что все простые приближения, как правило, дают для функции Г вместо плато яму, показанную на рисунке пунктиром. Крайние участки ямы (интервалы
185
«1
cc[^a0 на рисунке), внутри которых вычисленная приближенно функция все еще имеет правильную выпуклость, называют областями метастабильности, а внутреннюю часть ямы, где полученная функция имеет неправильную выпуклость, — областью абсолютной нестабильности; в теории конденсации метастабильным участкам соответствуют области переохлаждения и перегрева, в магнитных системах — петли гистерезиса.
На самом деле подобное поведение Г в рамках равновесной теории невозможно и является всегда результатом приближенного характера вычислений. Учет поправок к простому приближению самосогласованного поля будет приводить к постепенному заполнению ямы; кроме того, по мере роста точности приближения поведение приближенной функции в области ямы становится все более сложным (возникают многочисленные осцилляции), так что сама классификация по выпуклости теряет смысл. На практике, вычислив приближенно функцию Г, ее затем следует просто заменить на выпуклую огибающую (что приведет, в частности, к известному правилу равных площадей Максвелла [8] в теории конденсации).
В заключение напомним, что для жидких и газообразных систем величина W в пределе V -> со определяет давление среды. Действительно, давление pv для системы в объеме V определяется известной формулой $pv = d\nZv!dV [37]. Если
предел W=Wm Vі InZv существует и Vі InZv= W+0 (1 V)9 то W=$p, где р — давление бесконечно протяженной среды.
4. Особые и критические точки. В этОхМ разделе мы обсудим подробнее свойства поверхности Г (а) в пределе бесконечного объема и введем несколько понятий, полезных при описании фазовых переходов.
Для теории, рассматриваемой в конечном объеме, функцию W(x) естественно считать бесконечно дифференцируемой по параметрам х, поскольку ее кратные производные сводятся к различным функциям Грина (см. п. V.l.10) и в ,,хорошей" теории должны быть конечными. Гладкость и строгая выпуклость W обеспечивают гладкость ее преобразования Лежандра.
При появлении аномальных решений в пределе бесконечного объема функции W и Г теряют свойство бесконечной дифферен-^ цируемости: согласно принятой в предыдущем разделе точке зрения, предельная функция W(x) при некоторых особых значениях x имеет разрывы первых производных, что соответствует появлению плоских участков на предельной поверхности Г (а). В момент выхода на ,,плато" первые производные Г (а) остаются непрерывными (так как эти производные, согласно (2), определяют общее для всех аномальных решений значение х), но некоторые из вторых производных Г должны иметь разрыв вследствие скачкообразного изменения кривизны поверхности Г. В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что других нарушений гладкости Г нет, исходя из предположения о „макси-
