Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
риантность по отношению к вращениям соответствующих векторов (при изотропном обменном взаимодействии спинов). При наличии спонтанного нарушения симметрии в нулевом внешнем поле решение вырождено по всем направлениям вектора намагниченности.
Рассмотрим теперь нерелятивистский квантовый бозе-газ
г г
(см. § II.2) с гамильтонианом Но — [J-N + V, где H0, NhV являются операторами соответственно одночастичной энергии, числа частиц и взаимодействия, а постоянная ц — химический потенциал (отметим, что свободный гамильтониан (11.21) есть
г
H0 = Ho — ^N). Гамильтониан предполагается инвариантным относительно калибровочных преобразований ^ (х) -> $ (х) ехр /9,
А Л
^+ (х) -> Ф+ (х) ехр ( — /0) операторов поля.
Введем в гамильтониан дополнительное неинвариантное
слагаемое вида A+ J dxi(x) + A j <іх|>+(х), где А— произвольное комплексное число; поле <J> предполагается бесспиновым. Для реальной системы A = A+ = O, но вначале удобно считать h независимой переменной.
Естественными переменными Xi формы —?H для гамильтониана с неинвариантной добавкой являются —?, ?jn, —?A+ и —?A, которым сопряжены соответственно удельные средние значения операторов энергии H0'+ V, числа частиц N и доба-вок/<іхг|)(х), fdxty+ (х). Последние две переменные, которые мы обозначим Я, Я+, поскольку они, очевидно, взаимно сопряжены, являются аналогом намагниченности, тогда как переменные h, A+ являются аналогом внешнего поля. Функция W инвариантна по отношению к калибровочным преобразованиям h, A+, а ее преобразование Лежандра инвариантно по отношению к таким же преобразованиям Я, Я+. Для реальной задачи с A = A+ = O варьируемая функция Ф также инвариантна, при спонтанном нарушении симметрии решение вырождено по фазе а и точки стационарности образуют окружность в плоскости комплексной переменной К (а если Ф выпукла, то весь круг).
Сверхпроводимость можно рассмотреть совершенно аналогично, только теперь к гамильтониану следует добавлять не-
инвариантные добавки типа А+/Лсг|)(х)г|)(х) + эрмитово сопряженные.
В качестве последнего примера рассмотрим классический неидеальный газ в нулевом внешнем поле. Согласно формулам § V.3 статсумма Z большого канонического ансамбля имеет вид
со
Z = S j • • • J П ехр [- Wn ¦f frN],
A=O і
где Жn — классический гамильтониан для Аг частиц; jli — химический потенциал. Если взять х{ = —? и x2 = ?ku, то сопря-
183
женнымн переменными будут а\ — удельное среднее значение энергии и а2 — удельное среднее значение числа частиц, т. е. плотность. Смысл фазового перехода проще всего пояснить на языке неполного преобразования Лежандра Г(л'ь а2), являющегося функцией температуры и плотности. При заданных значениях температуры и химического потенциала равновесное значение плотности находится путем решения уравнения дГ/да.2 = —x2 относительно а2. Оказывается, что при высоких температурах уравнение им'еет единственное решение, а при некоторой критической температуре решение раздваивается па ветви, соответствующие жидкости и газу. В отличие от всех предыдущих примеров вырождение решения не связано со спонтанным нарушением какой-либо симметрии.
3. Предельный переход к бесконечному объему. В этом разделе мы обсудим, не претендуя на математическую строгость, предельный переход к бесконечному объему или, как его часто называют, термодинамический предел.
Как уже говорилось, при разумных предположениях функции W, Г и Ф для теории, рассматриваемой в конечном объеме, — строго выпуклы и соответствие между сопряженными переменными x и а взаимооднозначно. Это запрещает спонтанное нарушение симметрии, так что средние значения а для теории в конечном объеме всегда удовлетворяют всем требованиям, вытекающим из симметрии задачи. Например, намагниченность конечной решетки спинов в нулевом внешнем поле всегда будет равна нулю. Напомним, что речь идет о равновесной статистике: реальные конечные магниты существуют в состояниях, не являющихся равновесными в смысле строгого определения.
Допустив существование пределов при Vоо удельного логарифма статсуммы W и средних значений а, появление аномальных решений в пределе V-^oo можно объяснить следую-, щим образом: предельная функция W(x) конечна, но не является всюду гладкой как функция параметров -л*. В некоторых особых точках первые производные W по х становятся многозначными, т. ?. пределы первых производных при подходе к особой точке по разным направлениям различны. Аномальными средними а как раз и будут эти неоднозначные значения производных предельной функции W(x), не совпадающие с однозначными пределами производных (1) функции W(x) для конечного объема.
Например, для ферромагнетика Изинга особой точкой будет значение ?/i = 0 (нулевое поле) при температурах ниже критической; производные предельной функции W по приведенному внешнему полю ?/i будут стремиться к двум разным (отличающимся знаком) конечным пределам при стремлении к точке ?/г = 0 со стороны h > 0 и со стороны h < 0. Эти два разных предела соответствуют двум возможным значениям спонтанной намагниченности в нулевом поле, тогда как .предел намагничен-
