Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. КЛАССИЧЕСКИЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
1. Газ с парными силами. Статсумма Zn системы N классических точечных частиц в d-мерном пространстве определяется, как известно (см., например, [7, 8]), интегралом
Zn= т{2п)ш j ... jrfpi ... dpNdx, ... dxN ехр (~ ^Mn) (59)
173
(как всегда A= 1), в котором Жх — полный гамильтониан .V частиц:
^/v (Pi • • • P.vxi • • • x.v) = 7 А -^г+^і (хЛ + 71Г х*)-
і I ft
Функция ,Гі(х) представляет потенциал внешнего поля, симметричная функция Гг(х, х')—потенциал парного взаимодействия частиц; суммирование по i, Iz производится от единицы до Ад т. е. по всем частицам, интегрирования по х — по заданному объему системы, в трансляционпо-пнвариантной теорій; — по всему пространству. .
Взяв гауссов интеграл по импульсам в (59) ,получаем
Zx = [Nl )xdfl f . .. \ CiX1 ... dxy X
; ехр
^ Д K-H-^лП>е xfc)
і і %
l J
(60)
где обозначено A1-— V/v., Х~(2т:3, #t) —тепловая длина
BO Л Hol.
Статеумма Z большого канонического ансамбля определяется рядом
Z= V zv ехр (3-лЛД (61)
леев?
Л' - о
в котором Z0 —- 1 и введен дополнительно параметр ц — химический потенциал.
Коэффициент при интеграле в общем члене ряда (61) равен aN/N\9 где a = K~d ехр ?p,— параметр, называемый активностью. Множитель aN можно включить в виде аддитивной добавки Ina к потенциалу Ax и потому мы будем его опускать, рассматривая A1 и A2 как независимые функциональные переменные, конкретные значения которым приписываются лишь в с чонча-тельных формулах. Итак, положим
Z =¦¦= V щ \ ... І dx, ... dxN ехр V A1 (х,) + \] A, (X1-, X4)
Лг=0 ^ і І <k
(62)
Отсутствию внешнего поля соответствует теперь А{(х) — — Ii) а, а не A1 = O.
Дифференцирование общего члена ряда (62) по A1 (х) эквивалентно умножению подынтегрального выражения- на Vo(x~ xL)\ наблюдаемая (случайная величина) п (х), представляемая в каждом TV-частичном секторе в виде операции
умножения на У^о(х — xt), имеет смысл плотности числа частиц в точке х. Это поясняет смысл кратных варнацнон-
174
пых произзодных по A1 функционала Z и его логарифма W:inZ ЪАх(хх). ..oA{(xn) = Z((n(x1)...n(xn)))y где ((...)) обозначает усреднение по точному распределению. Производные Z являются аналогами полных функций Грина в теории поля. Поделив их на Z, приходим к аналогам функций Грина без вакуумных петель, кратные производные функционала W= = \uZ являются аналогами связных функций Грина. Наибольший интерес предстазляют две первые производные iv: о W 0A1 (х) = ((п (х))) — средняя плотность числа частиц в точке х (обычно ее называют просто плотностью, но не нужно путать со случайной величиной // (х)) и о'2 W^A1 (х) 0A1 (х') — — ((п (х) п (X7))) — ((п (х))) ((п (х'))) — корреляционная функция і] луктуаций плотности.
Сравниз производную Z по A2 (х, х') со второй производной по A1, нетрудно получить следующее уравнение:
M2(X1 х') "2"["M1(X^A(X') ЪА^х\\9 V*6'
Второе слагаемое в правой части появилось потому, что суммирование парных вкладов A2(X2-, xk) в (62) производится по їфк. Уравнение (63) понадобится нам в следующей главе.
Перейдем теперь к диаграммным представлениям. Введя майеровскую линию (или „суперпропагатор") gik = — 1 + 4-ехр A^ (X,., xA), перепишем (62):
со
Z=v-^- ( ... г CfX1 .. . dxy П ехр A1 (X1) ПО + .-Г..-.). (64)
TV-O і Kk
Общий член этого ряда представляется в виде суммы всевозможных нумерованных диаграмм (см. п. 1.4.2) с N вершинами; каждой из вершин сопоставляется множитель ехрАі(х), а линии, соединяющей вершины і и k, сопоставляется суперпропа-гатор go,. Все диаграммы являются майеровскими, т. е. любая пара вершин соединяется не более чем одной линией, а закороченных линий нет вообще.
Сравнение с формулами п. 1.4.5 показывает, что мы имеем дело с обычными диаграммами теории поля с экспоненциальным взаимодействием в iV-форме. Аналогия становится очевидной, если переписать (62) следующим образом:
Z = ехр
1 v Ao \
со
лТ j \ ^x1 ... dXfy X
Л'=О
2 ЬА\ - ZA1
A1 (X1) — ~ A2 (xh X1)
X ехр \^ * ' 4 1
(65)
При действии вынесенной дифференциальной операции на ехр EA1(X1) возникает множитель ехр [1/2 •2A2(X*, х;:)], ненуж-
175
ные диагональные члены формы сокращаются дополнительными слагаемыми Л2(хг-, хг) в (65).
Просуммировав ряд по N в (65), приходим к формуле типа (1.84):
[15 5
y'ja;A9-ja[ ехр (66)
с производящей вершиной
Jl= Г dx ехр Глх(х) — 4-і42 (х, х)
(67)
Итак, статсумма Z совпадает с производящим функционалом S-матрицы теории поля с линией A2 и производящей вершиной (67). Экспоненциальный характер взаимодействия позволяет пересуммировать обычные графики с линией A2 в майе-ровские графики с линией g, как это подробно объяснилось в п. 1.4.5. Ясно также, что замена Лі(х) ->Лі(х)—Л2(х, х)/2 в производящей вершине служит для исключения графиков с закороченными линиями. На операторном языке теории поля вершине (67) соответствует экспоненциальное взаимодействие fdxexpА\(х) со знаком нормального произведения, а функционал (67) представляет его Sym-форму. Соответствующая приведенная вершина (1.99) является простой экспонентой:
