Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Грина ((TD [Ь {*')]))и((TD[ty+(x)^ +(х')]У), нарушаемая группа та же.
178
3. Ферромагнетизм. Классическая или квантовая спиновая система с изотропным взаимодействием в нулевом внешнем поле, аномальное среднее — намагниченность, т. е. среднее значение оператора момента (спина) s, нарушаемая симметрия — группа вращений для изотропного ферромагнетика Гайзенберга и отражение s для модели Изинга.
4. Конденсация пар — жидкость. Классический неидеальный газ с подходящим взаимодействием. Здесь нет спонтанного нарушения какой-либо симметрии: просто при T <Г T0 решение расщепляется на две ветви, соответствующие жидкости и газу. Неединственность решения означает, что оно является аномальным в смысле определения § 1.10.
Из сказанного ясно, что задача о фазовых переходах является частным случаем общей задачи построения аномальных решений, о которой говорилось в § 1.10. Там же было отмечено, что подобные задачи естественно решать вариационным методом, которому в сущности и посвящена вся эта глава. Его общую идею лучше всего пояснить на простом примере обычной термодинамики, что и будет сделано в. следующих разделах.
2. Переход к вариационной задаче в термодинамике. Под термодинамикой мы будем понимать исследование статсуммы Z или эквивалентных ей величин как функций различных числовых параметров — температуры, внешнего поля, химического потенциала и т. п. В квантовой теории Z = tr ехр[—?H], и мы будем, как и в п. V.l.10, считать, что числовые параметры x = {хі} являются коэффициентами в линейном разложении показателя экспоненты, т. е. —?H = 2x*a;, где а*— некоторые
операторы. Без ограничения общности операторы а> можно считать независимыми в следующем смысле: никакая линейная комбинация аг не является кратной единичному оператору (в противном случае один из операторов аг можно было бы исключить). В этом разделе мы будем предполагать, что система заключена в конечном объеме V (для решетки роль V играет число узлов) и ее статсумма Z, равно как и средние значения операторов аг корректно определены. Последнее предположение очевидным образом выполняется для решеточных спиновых систем с конечным числом узлов, а в иных случаях его следует считать некоторым физически разумным ограничением на вид взаимодействия [40].
Положим W(x) = 1/^1In Z и определим сопряженные с x переменные
а, = д WfOx1 = Vі д In Z11Ox1 = V"' ((a,)), (1)
имеющие смысл удельных средних значений тех операторов,
Коэффициентами При КОТОРЫХ ЯВЛЯЮТСЯ переменные х{.
Задачей теории является вычисление средних значений а и величины W по заданным значениям переменных х. Эту за-
12* 179
дачу .можно сформулировать как вариационную, если перейти к преобразованию Лежандра Г (а) функции W(x): Г (а) = = W(x) — ZxidW/дХі = W — ха. В этом определении имеется
в виду, что переменные X в правой части равенства выражены . через а с помощью уравнений (1), неявно определяющих х% как функции от а. Дифференцируя Г (а) по переменным а*, которые считаются при этом независимыми, получаем уравнения
дающие явные выражения х через а при известной функции Г(ое). Уравнениями {2) можно воспользоваться и для определения неизвестных а по заданным х, а именно: искомые значения а(х) есть та точка в пространстве переменных а, в которой первые производные дТ!дои принимают заданные значения —х%. Введи функцию Ф(а; х) = Г (а) + <хх, можно сказать, что искомые значения <х(х) есть точка стационарности Ф(а; х) по отношению к вариациям а при фиксированных х\ из определений Г и Ф ясно, что значение Ф в точке стационарности совпадает с
Таким образом, на языке преобразования Лежандра Г задача определения средних значений а и величины W(x) является вариационной: требуется найти точку стационарности функции Ф(а; х) и ее значение в точке стационарности. Переход к вариационной, задаче позволяет, естественно, ввести такие понятия, как вырождение (неединственность) решения и спонтанное нарушение симметрии. Вырождение означает неединственность решения вариационной задачи, т. е. неединственность точки стационарности, а спонтанному нарушению симметрии отвечает
такая ситуация, когда инвариантная относительно некоторой группы преобразований переменных а функция Ф(а; х) имеет иеинвариантные точки стационарности. Спонтанное нарушение симметрии автоматически влечет вырождение, поскольку ,,сдвинутая группой" точка стационарности также будет точкой стационарности; ясно также, что само значение Ф в точке стационарности одинаково для всех точек, связанных групповым сдвигом вследствие предполагаемой инвариантности Ф.
Следует сразу же сказать, что вырождение и спонтанное нарушение симметрии могут возникнуть лишь после предельного перехода к бесконечному объему. Для систем в конечном объеме, удовлетворяющим сформулированным в начале этого раздела требованиям, функция W(x) является строго выпуклой вниз (см. доказательство в п. V.l.10), т. е. матрица вторых производных dzW/dxidxk строго положительно определена. Это обеспечивает разрешимость уравнений (1) относительно х и взаимооднозначность соответствия между переменными х и а, что исключает вырождение.
