Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 77

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 121 >> Следующая

186
мально допустимой гладкости": все, что может оставаться гладким в пределе бесконечного объема, —остается.
Пусть п — полное число вещественных переменных X (и а), Dx, Da—области изменения переменных х, а соответственно. Для каждого X^Dx соответствующие значения а определяются как точка стационарности выпуклой функции Ф(а; х). Если данному X соответствует не одна точка, а целая область стационарности Gx, то мы скажем, что точка х является особой: -замыкание (в топологии DxC]Rn) множества особых точек х обозначим Mx и назовем особой областью в Dx. Всякую точку х, не принадлежащую Mx, назовем неособой\ для любой неособой X точка стационарности функции Ф(а; х) единственна, и мы обозначим ее а(х). Неособые точки образуют открытое множество в топологии DxC]Rn, т. е. для каждой неособой точки найдется достаточно малая окрестность, целиком лежащая в области неособых точек.
Каждая из областей бх является выпуклой и замкнутой (последнее вытекает из предполагаемой непрерывности первых производных Г). Ясно также, что области бх для разных х не пересекаются — из (2) видно, что одна и та же точка а не может быть точкой стационарности двух функций Ф(а; х) с разными х. При движении точки X внутри особой области Mx соответствующая область Dx также движется, изменяя свою форму и положение. Поскольку области бх Для близких, но разных X не пересекаются, ясно, что область бх должна иметь меньше измерений, чем пространство всех переменных а (т. е. меньше п).
Объединение областей бх для всех х ? Mx назовем особой областью в Da и обозначим Ма. Когда х пробегает Mx, соответствующая область бх пробегает Ма. Если движение является гладким, что мы предположим, то размерность (число измерений) области Mа равна сумме размерностей области бх и области Mx, т. е. dim Af^+ dim бx = dim Ма ^ п.
Для всех рассмотренных в п. 2 систем оказывается, что dim Ма = п. Для модели Изинга и классического газа п = 2, а область стационарности бх представляет собой отрезок прямой, соединяющей две крайние точки стационарности. Следовательно, dim бх = 1 и dim Mx = 1, т. е. особые точки в Dx образуют линию. Для ферромагнетика Гайзенберга п = 4 (температура JT трехмерный вектор внешнего поля), при наличии вырождения область бх представляет собой трехмерный шар, следовательно, особые точки в Dx также образуют линию. Для квантового газа п = 4 (температура, химический потенциал и дополнительный комплексный параметр, играющий роль внешнего поля), при наличии вырождения область бх есть двумерный шар — круг в комплексной плоскости, и поэтому &\тМх = 2, т. е. особые точки образуют некоторое двумерное многообразие
187
в Dx (область на плоскости температура — химический потенциал при нулевом внешнем поле).
Определим теперь понятие критической точки. При движении x по особой области Mx размер соответствующей области Qx непрерывно меняется. Критическими назовем те ТОЧКИ xе ? Мх>
при стремлении к которым из Mx размер Gx стремится к нулю, т. е. дх стягивается в точку. Обычно оказывается, что критические точки лежат на границе Mx. Например, если Mx представляет собой линию, которая оканчивается где-то внутри Dx, то точка-окончания оказывается критической. Второй конец особой линии лежит обычно на границе Dx (например, при нулевой температуре) и эта точка окончания не будет критической.
5. Описание фазовых переходов. Допустим, что точка х движется по некотрой гладкой траектории в Dx и в некоторой
точке x траектория пересекает особую область Mx (напомним,
что dimMx<dimDx). Все точки траектории, кроме х, являются неособыми, так что каждой из них однозначно соответствует
некоторая точка стационарности а(х)\ особой точке х соответствует выпуклая замкнутая область стационарности 0~. При
jc
подходе к особой точке x с двух сторон соответствующие траектории а(х), лежащие вне особой области Ма, подходят к двум, в общем случае различным, точкам границы 0 (попасть сразу
внутрь 0~ траектория не может, если особая область Ма, яв-
jc
ляющаяся объединением непересекающихся областей 0Х, имеет полную размерность п). В момент перехода через особую точку
x соответствующая точка стационарности ,,перескакивает" через область 0—. Говорят, что в точке х происходит фазовый
jc
переход первого рода.
Допустим теперь, что траектория х из области неособых точек приходит в критическую точку хс и затем идет по области особых точек Mx До прихода в хс соответствующая траектория а(х) однозначна, в точке хс происходит разветвление траектории ос(х), поскольку каждому, из последующих х(*Мх соответствует целая область стационарности 0Х. Говорят, что в хс происходит фазовый переход второго рода.
Крайними или экстремальными точками некоторой выпуклой области 6 называют те, которые не являются внутренними точками ни для какого отрезка прямой,, целиком лежащего в O* Все крайние точки лежат на границе 0, но не каждая точка іраницьі обязательно является крайней: например, если 0 треугольник, то крайними точками будут лишь его вершины. Отметим, что области стационарности такого типа могут появиться в реальных физических задачах. Например, для анизотропного ферромагнетика Гайзенберга с обменным взаимодействием, инвариантным относительно поворотов на угол 2л/3 вокруг оси 3,
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed