Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Второе из них выражает условие Si2 = 1. Итерируя эти уравнения по степеням А с известным пулевым приближением Z^)(A) = ехр In 2ch Л, мы придем к стандартным диаграммным представлениям для Z.
Упомянем еще классическую модель Гайзепберга, которая отличается от модели Изинга тем, что каждому узлу решетки сопоставляется классический d-мерный вектор момента единичной длины s, а статсумма определяется интегралом по направлением всех векторов S;; в частном случае d = 1 мы возвращаемся к модели Изинга. Диаграммные представления статсуммы будут точно такими же, как и для модели Изинга, разница хить в появлении дополнительных спиновых значков и в явном виде аналогичной (48) производящей вершины JL(A).
2. Квантовый ферромагнетик Гайзенберга. В этой модели каждому узлу і сопоставляется квантовомеханический оператор спина s;a, а = 1, 2, 3, с заданным значением s, где s — любое целое пли полуцелое положительное число. Операторы sCj понижаются как матрицы, действующие в конечномерном пространстве состояний одного узла размерности 2s -1-І. Операторы разных узлов коммутируют между собой, а операторы одного узла удовлетворяют перестановочным соотношениям группы вращений: [sa, sp] = ieafnsL-
Гамильтониан опять пишется в виде квадратичной формы [41]:
H = — ~ ^ s. V , -s, о — hnsh ~ —¦ — svs — /is, (о 1)
ta, к і і а
причем предполагается, что матричные элементы Тіа,щ обращаются в нуль при і = k, т. е. взаимодействуют только спины разкык узлов. В этом сл\ чае не возникает вопроса о порядке
МНОЖИЛеЛеЙ S^0CSp1Q.
По определению
Z = trexp [ — Vd] — trexp
- о
4 SVS 4- 3//5
(52)
Отличие от рассматривавшихся ранее классических спиновых систем состоит в том, что теперь множитель exp[?s<rs/2] нельзя вынести за знак tr в виде дифференциальной операции вследствие некоммутативности операторов спина. Поэтому для построения теории возмущений нужно переходить к представлені
нию взаимодействия. Исходной точкой является формула (2) для матрицы плотности р = ехр[—?H], из которой
ZjZ0 = <7Ъ ехр
- [ dtV (t)
о
(53)
Свободным гамильтонианом считается второе слагаемое (51), а взаимодействием — первое; напомним, что символ <С.>* обозначает усреднение со свободной р-матрицей, a V(Y)—гамильтониан взаимодействия в евклидовом представлении взаимодействия. Символ Tn в (53) обозначает обычное дайсоново Г-про-изведение операторов взаимодействия, но при желании его можно понимать как хронологическое упорядочение T самих операторов спина s(x)=Sia(t) в представлении взаимодействия
T[s(x{) ... S(Xn)]
и P [6(1 ... n)s(x{) ... S(Xn)]. (54) р
При совпадении всех или части временных аргументов t\... tn символ T доопределяется как Sym-произведение (см. п. 1.2.2). Замена в (53) символа TD на T не ведет к недоразумениям, поскольку спиновые операторы с одинаковыми / в (53) коммутируют (взаимодействуют лишь спины разных узлов).
Введем вспомогательную переменную A(x) = Aia(t) и опре-делим функционал
Z(A)IZ0 «Гехр
As
J dtV (t)
о
(55
?
в котором As= f dxA (х) s (л:) = ^ J dtA^ (t) sia (t).
і* О
Операторы спина под знаком Г-произведения ведут себя подобно классическим коммутирующим объектам и это позволяет вынести квадратичное по спину слагаемое с V(O в показателе экспоненты (55) в виде дифференциальной операции:
1 JL
2 "Ы
Z (A)1Z0 = ехр
о
(У -
0 ЬА
« ГехрЛя»,
(56)
где, как обычно,
ЬА
о
P--
* ЬА
а „свертка" g(x, x') = o(t — Ґ)Ь^І0І, га/ определяется матрицей обменного взаимодействия в гамильтониане (51).
Правая часть (56) имеет вид производящего функционала S-матрицы (1.84) для теории с пропагатором g и производящей вершиной
Jl (А) = In « T ехр As » (57)
и потому допускает стандартные диаграммные представления § 1.4. Чтобы получить величину Z/Zo, которая аналогична ва-
172
куумному ожиданию S-матрицы в теории поля, нужно положить A=O в (56).
С точки зрения обычной теории поля выражение (56) подобно производящему функционалу S-матрицы, но в действительности оно является производящим функционалом полных температурных функций Грина операторов спина s(x): пользуясь, как и выше, заменой Tn на Г, нетрудно показать, что
((7D ••• 5Г (**)]))
const С T
». (58)
?
s (X1) ... s (хп) ехр j — j dtW (t)
Эта формула аналогична (4), sr(x)—операторы спина в евклидовом гайзенберговском представлении, символ ((...)) обозначает усреднение с точной р-матрицей, нормировочная постоянная в правой части (58) определена условием ((1)) = 1 и равна численно ZqIZ.
Диаграммные представления функций Грина операторов спина однозначно определяются известным диаграммным представлением производящего функционала (55). В практических расчетах наиболее трудным является вычисление вершинных множителей, т. е. кратных производных функционала (57) при A=O; из сравнения (58) и (57) видно, что эти множители имеют смысл связных функций Грина операторов спина для свободной теории. Среднее T ехр As распадается, очевидно, в произведение по всем узлам, следовательно, производящая вершина (57) распадается на сумму по узлам; поэтому вершинные множители Jln(Xi... хп; А) ,,локальны по узлам", т. е. отличны от нуля лишь при совпадении всех индексов I1.-- in (напомним, что x=t, і, а). При нулевом А коэффициент при б-символе по узлам не зависит от номера (общего для всех) узла решетки, так что вся трудность состоит в вычислении функционала (57) и его коэффициентов разложения по А для одного оператора спина. Для вычисления этих коэффициентов разработана своя диаграммная техника (,,теорема Вика для операторов спина"), с которой можно ознакомиться по книге [44]. Изложенная нами выше диаграммная техника впервые была сформулирована в работе (45]. В заключение отметим, что нахождение в замкнутом виде функционала (57) для одного узла эквивалентно точному решению задачи о спине в произвольном зависящем от времени внешнем поле.
